Дано: а – прямая, точка а не принадлежит прямой а. доказать: 1) можно провести перпендикуляр, 2) этот перпендикуляр единственный

пусть даны точки А и В. Возьмем третьею точку С отличную от А и В. 

Через любые три точки, не принадлежащие одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

проведем плоскость АВС

Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.

Возьмем точку D не принадлежщаю плоскости АВС (таковая существует за аксиомой выше)

проведем плоскость АВD.

Єти плоскости разные так как точка D не принадлежит плоскости АВС.

и данные точки А и В принадлежат одновременно и плоскости АВС и ABD.

Таким образом существование искомых плоскостей доказано

Нехай одна сторона трикутника дорівнює Х. Тоді друга сторона дорівнює 8 - Х Згідно з теоремою косинусів

7² = 49 = Х² + (8 - Х)² - 2 * Х * (8 - Х) * cos 120° = X² + (8 - X)² + X * (8 - X) =

X² + 64 - 16 * X + X² + 8 * X - X² = X² - 8 * X + 64

Тоді  Х² - 8 * Х + 15 = 0

         Х₁ = 3      Х₂ = 5

Отже сторони трикутника  3, 5 та 7 см, його площа

S = ½ * 3 * 5 * sin 120° = 7,5 * √ 3 / 2 = 15 * √ 3 / 4 см²

Радіус вписаного кола

r = 2 * S / (a + b + c) = 2 * (15 * √ 3 / 4) / (3 + 5 + 7) = √ 3 / 2 см.