оловине гипотенузы ВС (СН=1/2CD, СD=BC как стороны ромба). Используем свойство прямоугольного треугольника: если катет прямоугольного треуг-ка равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°. Значит
<CBH=30°
Зная, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, находим угол С:
<C=90-<CBH=90-30=60°, что и требовалось доказать.
2. ВМ=АВ-AM, CL=BC-BL, DP=CD-CP, AQ=AD-DQ, но
АМ=BL=СР=DQ по условию, а АВ=BC=CD=AD как стороны квадрата. Значит
ВМ=CL=DP=AQ
Прямоугольные треугольники MAQ, LBM, PCL и QDP равны, таким образом, по двум сторонам и углу между ними (углы А, B, C, D - прямые, АМ=BL=СР=DQ по условию, ВМ=CL=DP=AQ как только что доказано). У равных треугольников равны и соответственные стороны MQ, LM, LP и PQ. Значит, MLPQ-квадрат.
Так как четырехугольник ABCD вписан в окружность, а диагонали AC и BC перпендикулярны, то эти диагонали делят заданный четырёхугольник на 4 прямоугольных треугольника. Эти треугольники попарно подобны (по вертикальным углам при пересечении диагоналей) по равенству двух вписанных углов, опирающихся на равные дуги.
Обозначим точку пересечения диагоналей Е, центр описанной около четырёхугольника окружности О.
Из подобия треугольников АВЕ и ДЕС следует АЕ:ЕД = 3:4. Примем коэффициент подобия у. Тогда 8² = (3у)² + (4у)², 9у² + 16у² = 64, 25у² = 64, у = √(64/25) = 8/5. Получаем: АЕ = 3х = 24/5 = 4,8. ДЕ = 4х = 32/5 = 6,4.
Угол АВД как вписанный равен (1/2) центрального угла АОД. Синус (1/2) центрального угла АОД равен (8/2)/(17/2) = 4/8,5 = 0,470588. Угол АBД равен 0,489957 радиан или 28,07249°. Косинус угла ЕАД = 4,8/8 = 0,6. Угол ЕАД = 0,927295 радиан или 53,1301°. Угол АДЕ = 90° - 53,1301 = 36,8699°. По теореме синусов находим АB = AD*sin АДЕ / sin АBД = = 8*0,6/ 0.470588 = 10,2.
Сторона ДС по заданию равна (4/3) АВ = (4/3)*10,2 = 13,6.
Объяснение:
оловине гипотенузы ВС (СН=1/2CD, СD=BC как стороны ромба). Используем свойство прямоугольного треугольника: если катет прямоугольного треуг-ка равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°. Значит
<CBH=30°
Зная, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, находим угол С:
<C=90-<CBH=90-30=60°, что и требовалось доказать.
2. ВМ=АВ-AM, CL=BC-BL, DP=CD-CP, AQ=AD-DQ, но
АМ=BL=СР=DQ по условию, а АВ=BC=CD=AD как стороны квадрата. Значит
ВМ=CL=DP=AQ
Прямоугольные треугольники MAQ, LBM, PCL и QDP равны, таким образом, по двум сторонам и углу между ними (углы А, B, C, D - прямые, АМ=BL=СР=DQ по условию, ВМ=CL=DP=AQ как только что доказано). У равных треугольников равны и соответственные стороны MQ, LM, LP и PQ. Значит, MLPQ-квадрат.
Эти треугольники попарно подобны (по вертикальным углам при пересечении диагоналей) по равенству двух вписанных углов, опирающихся на равные дуги.
Обозначим точку пересечения диагоналей Е, центр описанной около четырёхугольника окружности О.
Из подобия треугольников АВЕ и ДЕС следует АЕ:ЕД = 3:4.
Примем коэффициент подобия у.
Тогда 8² = (3у)² + (4у)²,
9у² + 16у² = 64,
25у² = 64,
у = √(64/25) = 8/5.
Получаем: АЕ = 3х = 24/5 = 4,8.
ДЕ = 4х = 32/5 = 6,4.
Угол АВД как вписанный равен (1/2) центрального угла АОД.
Синус (1/2) центрального угла АОД равен (8/2)/(17/2) = 4/8,5 = 0,470588. Угол АBД равен 0,489957 радиан или 28,07249°.
Косинус угла ЕАД = 4,8/8 = 0,6.
Угол ЕАД = 0,927295 радиан или 53,1301°.
Угол АДЕ = 90° - 53,1301 = 36,8699°.
По теореме синусов находим АB = AD*sin АДЕ / sin АBД =
= 8*0,6/ 0.470588 = 10,2.
Сторона ДС по заданию равна (4/3) АВ = (4/3)*10,2 = 13,6.
ВЕ = √10,2²-4,8²) = √( 104.04 - 23.04) = √81 = 9.
СЕ = √(13,6²-6,4²) = √( 184.96 - 40.96) = √144 = 12.
ВС = √(9²+12²) = √(81+144) = √= 15.