Дана правильная шестиугольная призма. Известно, что О и О1 - центры окружностей, описанных около оснований. Длина вектора AF равна 5, площадь BB1D1D=60 корней из 3. Найдите длину вектора AO1

1)120°;

2)80°;

3)60°;

4)40°

Пользуемся теоремой о сумме 3-х углов треугольника и решаем

1)∠К+∠M+∠N=180°;0°

∠N=180°-(∠К+∠M)=180°-(35°+25°)=180°-60°=120°

2)∠E+∠P+∠K=180°;

∠E=180°-∠P-∠K=180°-60°-40°=80°

3) Как следствие теоремы для прямоугольных треугольников ( Сума острых углов  в прямоугольном треугольнике равна 90°)

∠S+∠M=90°;

∠S=90°-30°=60°.

4)Тут используем  свойство равнобедренного треугольника: Если треугольник является равнобедренным треугольником, то углы при его основании равны.

∠А=∠В=70°

∠С=180-2*70°=40°

Проведём биссектрисы и . Пусть они пересекаются в точке .

Также проведём отрезки и .

========================================

Рассмотрим :

, т.к. - биссектриса.

, т.к. - биссектриса.

Сумма внутренних углов треугольника равна .

- равнобедренный.

========================================

Рассмотрим и :

, т.к. - биссектриса;

(по условию); общая сторона.

(по I признаку равенства треугольников).

========================================

Рассмотрим и :

, т.к. - биссектриса;

(по условию), - общая сторона.

(по I признаку равенства треугольников).

========================================

, т.е. мы имеем три равных равнобедренных тр-ка:

========================================

Рассмотрим :

.

- равносторонний

========================================

Рассмотрим геометрическую фигуру :

.

(т.к. в полном угле всего 360°)

При пересечении двух параллельных прямых секущей, сумма односторонних углов равна .

Если у геометрической фигуры есть 4 угла, 4 стороны, а 2 стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник - параллелограмм.

У параллелограмма противоположные углы равны.

.

========================================