Дана пирамида с вершинами в точках а(1,3,6),b(2,4,1),c(–1,3,1),d(–4,6,–3). найти: а) конус угла между cb и cd.; б) объем пирамиды. в) провести плоскость через точку b параллельную грани acd.

Использовано: признак перпендикулярности прямой к плоскости, теорема Пифагора, признак подобия треугольников, свойство сторон подобных треугольников, формула площади прямоугольника. АВ перпендикулярно MN (по построению), АВ перпендикулярно боковому ребру (т.к. призма прямая). Значит, АВ перпендикулярно желтому прямоугольнику (по признаку перпендикулярности прямой к плоскости). То есть, желтый прямоугольник искомое сечение. Треугольники АВС и MBN -именно они подобны. Причина их подобия названа в приложении

Высота, проведенная к меньшей стороне треугольника, по длине самая большая, и наоборот, к большей стороне - самая короткая. 
Пусть меньшая сторона будет b, а высота к ней =6  
вторая сторона а, и высота к ней 4 см 
третья сторона с, и высота к ней 3 см.  
Запишем площадь треугольника по классической формуле S=ha:2 для каждой стороны: 
S=4a:2
 S=3c:2 
S=6b:2 
Площадь треугольника, найденная любым одна и та же.  
Поэтому  3c:2=6b:2 
с=2b 
4a:2=6b:2 
а=1,5b
Вычислим площадь треугольника по формуле Герона, выразив длину сторон через b. 
Полупериметр 
 р=(а+b+с):2=(b+1,5b+2b):2=4,5b:2=2,25b 
S=√(2,25b*0,75b*1,25b*0,25b)=√0,52734375b⁴ 
S=0,72618b² 
0,72618b²=6b:2
0,72618b=3 
b=3:0,72618=4,1312 
S=6b:2= 6*4,1312:2=12,3936 см² 
 Попутно: 
с=2b=8,2624 
а=1,5b=6,1968 
Вычислив площадь по формуле S=ha:2 для  каждой стороны с данной в условии высотой, получим равные значения площади.