Любое уравнение первой степени, имеющее вид Ax+By+C=0, где А, В, С – некоторые действительные числа (А и В не равны одновременно нулю) определяет прямую линию в прямоугольной системе координат на плоскости. В свою очередь, любая прямая в прямоугольной системе координат на плоскости определяется уравнением, имеющим вид Ax+By+C=0 при некотором наборе значений А, В, С.
Объяснение:
Доказательство
указанная теорема состоит из двух пунктов, докажем каждый из них.
Докажем, что уравнение Ax+By+C=0 определяет на плоскости прямую.
Пусть существует некоторая точка М0(x0, y0), координаты которой отвечают уравнению Ax+By+C=0. Таким образом: Ax0+By0+C=0. Вычтем из левой и правой частей уравнений Ax+By+C=0 левую и правую части уравнения Ax0+By0+C=0, получим новое уравнение, имеющее вид A(x-x0)+B(y-y0)=0. Оно эквивалентно Ax+By+C=0.
Полученное уравнение A(x-x0)+B(y-y0)=0 является необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов
→
n
=(A, B) и
→
M0M
=(x-x0, y-y0). Таким образом, множество точек M(x, y) задает в
Общее уравнение прямой: описание, примеры, решение задач
Содержание:
Общее уравнение прямой: основные сведения
Неполное уравнение общей прямой
Общее уравнение прямой, проходящей через заданную точку плоскости
Переход от общего уравнения прямой к прочим видам уравнений прямой и обратно
Составление общего уравнения прямой
Данная статья продолжает тему уравнения прямой на плоскости: рассмотрим такой вид уравнения, как общее уравнение прямой. Зададим теорему и приведем ее доказательство; разберемся, что такое неполное общее уравнение прямой и как осуществлять переходы от общего уравнения к другим типам уравнений прямой. Всю теорию закрепим иллюстрациями и решением практических задач.
Общее уравнение прямой: основные сведения
Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Oxy.
Теорема 1
Любое уравнение первой степени, имеющее вид Ax+By+C=0, где А, В, С – некоторые действительные числа (А и В не равны одновременно нулю) определяет прямую линию в прямоугольной системе координат на плоскости. В свою очередь, любая прямая в прямоугольной системе координат на плоскости определяется уравнением, имеющим вид Ax+By+C=0 при некотором наборе значений А, В, С.
Доказательство
указанная теорема состоит из двух пунктов, докажем каждый из них.
Докажем, что уравнение Ax+By+C=0 определяет на плоскости прямую.
Пусть существует некоторая точка М0(x0, y0), координаты которой отвечают уравнению Ax+By+C=0. Таким образом: Ax0+By0+C=0. Вычтем из левой и правой частей уравнений Ax+By+C=0 левую и правую части уравнения Ax0+By0+C=0, получим новое уравнение, имеющее вид A(x-x0)+B(y-y0)=0. Оно эквивалентно Ax+By+C=0.
Полученное уравнение A(x-x0)+B(y-y0)=0 является необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов
→
n
=(A, B) и
→
M0M
=(x-x0, y-y0). Таким образом, множество точек M(x, y) задает в прямоугольной системе координат прямую линию, перпендикулярную направлению вектора
→
n
=(A, B). Можем предположить, что это не так, но тогда бы векторы
→
n
=(A, B) и
→
M0M
=(x-x0, y-y0) не являлись бы перпендикулярными, и равенство A(x-x0)+B(y-y0)=0 не было бы верным.
Общее уравнение прямой: основные сведения
Следовательно, уравнение A(x-x0)+B(y-y0)=0 определяет прямоугольной системе координат на плоскости, а значит и эквивалентное ему уравнение
A
x
+
B
y
+
C
=
0
определяет ту же прямую. Так мы доказали первую часть теоремы.
Приведем доказательство, что любую прямую в прямоугольной системе координат на плоскости можно задать уравнением первой степени
A
x
+
B
y
+
C
=
0
.
Зададим в прямоугольной системе координат на плоскости прямую
a
; точку
M
0
(
x
0
,
y
0
)
, через которую проходит эта прямая, а также нормальный вектор этой прямой
Любое уравнение первой степени, имеющее вид Ax+By+C=0, где А, В, С – некоторые действительные числа (А и В не равны одновременно нулю) определяет прямую линию в прямоугольной системе координат на плоскости. В свою очередь, любая прямая в прямоугольной системе координат на плоскости определяется уравнением, имеющим вид Ax+By+C=0 при некотором наборе значений А, В, С.
Объяснение:
Доказательство
указанная теорема состоит из двух пунктов, докажем каждый из них.
Докажем, что уравнение Ax+By+C=0 определяет на плоскости прямую.
Пусть существует некоторая точка М0(x0, y0), координаты которой отвечают уравнению Ax+By+C=0. Таким образом: Ax0+By0+C=0. Вычтем из левой и правой частей уравнений Ax+By+C=0 левую и правую части уравнения Ax0+By0+C=0, получим новое уравнение, имеющее вид A(x-x0)+B(y-y0)=0. Оно эквивалентно Ax+By+C=0.
Полученное уравнение A(x-x0)+B(y-y0)=0 является необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов
→
n
=(A, B) и
→
M0M
=(x-x0, y-y0). Таким образом, множество точек M(x, y) задает в
Справочник
Прямая, плоскость
Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik.
Как работает сервис
Наши социальные сети
Общее уравнение прямой: описание, примеры, решение задач
Содержание:
Общее уравнение прямой: основные сведения
Неполное уравнение общей прямой
Общее уравнение прямой, проходящей через заданную точку плоскости
Переход от общего уравнения прямой к прочим видам уравнений прямой и обратно
Составление общего уравнения прямой
Данная статья продолжает тему уравнения прямой на плоскости: рассмотрим такой вид уравнения, как общее уравнение прямой. Зададим теорему и приведем ее доказательство; разберемся, что такое неполное общее уравнение прямой и как осуществлять переходы от общего уравнения к другим типам уравнений прямой. Всю теорию закрепим иллюстрациями и решением практических задач.
Общее уравнение прямой: основные сведения
Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Oxy.
Теорема 1
Любое уравнение первой степени, имеющее вид Ax+By+C=0, где А, В, С – некоторые действительные числа (А и В не равны одновременно нулю) определяет прямую линию в прямоугольной системе координат на плоскости. В свою очередь, любая прямая в прямоугольной системе координат на плоскости определяется уравнением, имеющим вид Ax+By+C=0 при некотором наборе значений А, В, С.
Доказательство
указанная теорема состоит из двух пунктов, докажем каждый из них.
Докажем, что уравнение Ax+By+C=0 определяет на плоскости прямую.
Пусть существует некоторая точка М0(x0, y0), координаты которой отвечают уравнению Ax+By+C=0. Таким образом: Ax0+By0+C=0. Вычтем из левой и правой частей уравнений Ax+By+C=0 левую и правую части уравнения Ax0+By0+C=0, получим новое уравнение, имеющее вид A(x-x0)+B(y-y0)=0. Оно эквивалентно Ax+By+C=0.
Полученное уравнение A(x-x0)+B(y-y0)=0 является необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов
→
n
=(A, B) и
→
M0M
=(x-x0, y-y0). Таким образом, множество точек M(x, y) задает в прямоугольной системе координат прямую линию, перпендикулярную направлению вектора
→
n
=(A, B). Можем предположить, что это не так, но тогда бы векторы
→
n
=(A, B) и
→
M0M
=(x-x0, y-y0) не являлись бы перпендикулярными, и равенство A(x-x0)+B(y-y0)=0 не было бы верным.
Общее уравнение прямой: основные сведения
Следовательно, уравнение A(x-x0)+B(y-y0)=0 определяет прямоугольной системе координат на плоскости, а значит и эквивалентное ему уравнение
A
x
+
B
y
+
C
=
0
определяет ту же прямую. Так мы доказали первую часть теоремы.
Приведем доказательство, что любую прямую в прямоугольной системе координат на плоскости можно задать уравнением первой степени
A
x
+
B
y
+
C
=
0
.
Зададим в прямоугольной системе координат на плоскости прямую
a
; точку
M
0
(
x
0
,
y
0
)
, через которую проходит эта прямая, а также нормальный вектор этой прямой
→
n
=
(
A
,
B
)
.
Пусть данный ΔАВС, ∟A = 60 °, ∟B = 70 °, АВ = 2 см, AD = 1 см.
Найдем углы ΔBDC.
В ΔABD проведем медиану DK.
АК = КВ = 1 / 2АВ = 2: 2 = 1 см.
Рассмотрим ΔAKD - piвнобедрений (AD = АК = 1 см),
Если ∟A = 60 °, то ΔAKD - piвносторонний.
Итак, AD = АК = KD, ∟А = ∟AКD = ∟KDA = 60 °.
∟ВКD i ∟AKD - смежные, тогда ∟BKD + ∟AKD = 180 °.
∟BKD = 180 ° - 60 ° = 120 °.
ΔBKD - равнобедренный (KB = KD = 1 см), тогда
∟KBD = ∟KDB = (180 ° - 120 °): 2 = 30 °.
Рассмотрим ΔАВС:
∟A + ∟B + ∟C = 180 °. ∟C = 180 ° - (60 ° + 70 °); ∟C = 50 °.
∟B = ∟KBD + ∟DBC; ∟DBC = 70 ° - 30 ° = 40 °.
Рассмотрим ΔBDC:
∟DBC + ∟C + ∟BDC = 180 °.
40 ° + 50 ° + ∟BDC = 180 °. ∟BDC = 180 ° - 90 ° = 90 °.
Biдповидь: ∟BDC = 90 °; ∟DBC = 40 °; ∟C = 50 °
Объяснение: