Дан тупоугольный треугольник ABC. Точка пересечения D серединных перпендикуляров сторон тупого угла находится на расстоянии 35,4 см от вершины угла B. Определи расстояние точки D от вершин A и C.

Проведем биссектрису угла А - АМ.
Так как ∠А = 2∠С, то половинки угла А равны углу С.

Обозначим АВ = а, тогда ВС = а + 2,
ВМ = b, МС = а + 2 - b.

По свойству биссектрисы:
ВМ : МС = АВ : ВС
b : (a + 2 - b) = a : 5
5b = a² + 2a - ab                    (1)

Треугольники СВА и АВМ подобны по двум углам: ∠ВСА = ∠ВАМ, угол В общий.
Из подобия треугольников следует:
СВ : АВ = ВА : ВМ
(a + 2) : a = a : b
a² = b(a + 2)
a² = ab + 2b
ab - a² + 2b = 0                    (2)

Из двух уравнений получаем систему:
a² + 2a - ab = 5b
ab - a² + 2b = 0                       складываем

2a + 2b = 5b
2a = 3b
b = 2a/3                      подставляем в первое

a² + 2a - a·2a/3 = 5·2a/3            умножаем на 3
3a² + 6a - 2a² - 10a = 0
a² - 4a = 0
a(a - 4) = 0
a = 4  или  a = 0 - не подходит по смыслу задачи.

АВ = 4 см
ВС = 4 + 2 = 6 см

Эти треугольники подобны по трём сторонам, так как три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого. Коэффициент подобия равен 2 (средняя линия в два раза меньше стороны, которой она параллельна). Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициенту подобия: S1/S2=2^2=4. Найдём сторону большего треугольника: а^2=12^2+(а/2)^2; 3а^2/4=144; а^2=144*4/3; а=√192=8√3 см; Найдём площадь большего треугольника: S1=12*8√3/2=48√3 см^2; Площадь меньшего треугольника равна: S1/S2=k^2; 48√3/S2=4; S2=48√3/4=12√3 см^2; ответ: 12√3