Дан треугольника АВС. Плоскость, параллельная прямой ВС, пересекает сторону АВ в точке Р, а сторону АС - в точке Q. Точка Р делит отрезок АВ в отношении 3:5, считая от точки А. Найдите длину отрезка Р Q, если ВС = 12 см.
Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен углу между образующей и радиусом основания, проведенного к данной образующей. Площадь боковой поверхности конуса: pi*R*l, площадь основания - pi*R^2. Поскольку площадь боковой поверхности в два раза больше площади основания, то pi*R*l = 2*pi*R^2. упрощаем уравнение: l = 2R. Из рисунка CB = 2OB. Из прямоугольного треугольника COB: угол, который лежит против катета, который в два раза меньше гипотенузы, равен 30 градусов. OB - катет, CB - гипотенуза, следовательно, угол BOC = 30 градусов. Искомый угол CBO = 90 - 30 = 60 градусов.
Обозначим проекцию апофемы на основание за х.
Тогда проекция боковой стороны на основание будет 2х.
По Пифагору имеем - боковая сторона L равна:
L = √((2x)² + (√3)²) = √(4x² + 3).
Апофема А равна √(x² + (√3)²) = √(x² + 3).
Высота треугольника основания равна 3х.
Тогда сторона основания а = 3x/cos 30° = 3x/(√3/2) = 6x/√3 = 2√3x.
Но, так как сторона основания - это гипотенуза при двух катетах L, то можно выразить: a = √(2L²) = L√2 = √(4x² + 3)*√2 = √(8x² + 6).
Приравняем: √(8x² + 6) = 2√3x. Возведём в квадрат:
8x² + 6 = 12x или 4x² = 6 или 2x² = 3.
Отсюда находим х = √(3/2).
Теперь можно определить длину стороны основания, подставив значение х: а = 2√3*(√(3/2)) = 3√2.
Площадь основания So = a²√3/4 = 18√3/4 = 9√3/2 кв.ед.
ответ: V = (1/3)SoH = (1/3)*(9√3/2)*√3 = (9/2) куб.ед.