Дан треугольник OMN, у которого прямой угол M, и из этого угла опущена высота. Катет OM равен 12 см, а расстояние от точки O до точки, в которую опущена высота, равно 6 см. Найди угол O.

Отрезки ОА и ОВ - радиусы окружности. Расстояние от точки А до прямой ОВ в два раза меньше радиуса. Найдите дугу АВ.
Вариант а) рис.1
Точка А  расположена в той же четверти окружности, что В.
Расстояние от точки до прямой - перпендикуляр. Пусть это перпендикуляр АС.
В прямоугольном треугольнике АОС отрезок АС=0,5 АО. Синус угла АОС=АС:АО=0,5. Это синус угла 30º
Центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается. ⇒ дуга АВ=30º
Вариант б) рис.2
Точка А  расположена  по другую сторону от центра, чем В. 
Тогда точно так же найдем величину угла между радиусом ОА и прямой ОВ. Дуга АВ в этом случае равна разности межу развернутым углом ВОС и углом АОС.
дуга АВ=180º-30º=150º

 Площадь части круга, расположенной вне ромба, состоит из площади двух сегментов ТkC и  DmC (см. рисунок в приложении).

ОС - диаметр, ТО=МО - высоты ромба, прямоугольные ∆ ОТС =∆ ОМС по катету и гипотенузе. ⇒ хорды ТС=МС⇒

  сегменты ТkC и DmС равны.   

В прямоугольном ∆ ОТВ тангенс угла ОВТ=ОТ:ВТ=3:√3=√3. Это тангенс 60° ⇒ 

в прямоугольном ∆ ВОС угол ВОС=30°

Диаметр ОС=ОТ:sin30°=6 см, радиус РС=РТ=3 см. 

∆ ТРС равнобедренный, ∠ТРС=180°-2•30°=120°

Площадь сегмента ТkC равна разности между площадью сектора РТkC и площадью ∆ ТРС

Площадь сектора ТРС равна 1/3 площади круга=πr²:3=9π:3=3π, т.к. угол ТРС=1/3 градусной величины круга. 

S ∆ТРС по формуле S=a•b•sina:2=9√3/4 

S сегмента ТkC=3π - 9√3/4 

Площадь 2-х таких сегментов 6π -9√3/2 см²