Дан треугольник авс со сторонами ав=5,вс=9,ас=10докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения медиан и центр вписанной окружности, параллельна вс.(егэ профиль - #16)

1. 

Предположим, что существует треугольник (не прямоугольный), в котором две стороны 3 и 4, а площадь равна 6.
Тогда на сторону а=4 опускаем высоту из противолежащего угла и записываем:
S=1/2*a*h.
a=4 => 1/2*4*h=6 => h=3
Но в прямоугольном треугольнике катет (в данном случае высота h=3) не может равняться гипотенузе (в данном случае сторона b=3).
Значит изначально треугольник был прямоугольный со сторонами 3 и 4 и гипотенузой, равной 5

2.

Треугольник со сторонами 2,3,4 не является прямоугольным (2^2+3^2=13; значит в прямоугольном треугольнике гипотенуза должна была быть <4). 

По теореме косинусов: a^2 = b^2 + c^2 — 2bc · cos α

Осталось подставить числа (известные стороны) и найти единственное неизвестное: cos α  

Дано:

параллелепипед ABCDA1B1C1D1

AC = A1C1 = 6 см

BD = B1D1 = 8 см

AA1 = DD1 = CC1 = DD1 = 7 см

1. Рассмотрим ромб ABCD, лежащий в основании. По свойствам ромба, его диагонали пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся попопам. Обозначим точку пересечения как O.

2. Рассмотрим треугольник AOD. Он прямоугольный, его катеты AO и OD.

AO = AC/2 = 6/2 = 3 см

OD = BD/2 = 8/2 = 4 см

Найдем гипотенузу AD:

AD = 

AD = 5 см

3. Стороны ромба равны, значит, треугольник AOD = AOB = BOC = COD, AB = BC = CD = AD = 5 см. 

4. Теперь мы знаем все грани и можем найти площади.

Площадь оснований (площади ромбов) ABCD и A1B1C1D1 рассчитываются по формуле:

S = (AD * BC)/2 = 24 кв.см

Площади граней (всех в силу равенства сторон) -  как площади прягоугольников.

S = AA1 * AB = 7 * 5 = 35 кв.см

5. Площадь полной поверхности:

S = 2 * 24 + 4 * 35 = 48 + 140 = 188 кв.см

ответ: S = 188 кв.см

Вот и все :) Удачи!