Дан треугольник abc: a (4; 1) b (7; 5) c (-4; 7). найти:
1) периметр
2) длину биссектрисы ck
3) длину медианы bm
4) центр тяжести треугольников
5) внутренние углы

  Катеты прямоугольного треугольника равны 12 см и 16 см. Найдите длину биссектрисы треугольника, проведенную из вершины большего острого угла.

ответ: 6√5 см

Объяснение:

Пусть в треугольнике АВС угол С=90°, АС=12 см, СВ=16 см, АК - биссектриса.

Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон.

Примем длину СК=х, ВК=у. Тогда х:у=АС:АВ.

По т.Пифагора АВ=√(АС*+ВС*)=√(144+256)=20 ⇒

х:у=12:20=3/5 Следовательно, ВС состоит из х+у=3+5=8 частей. Длина каждой части 16:8=2 см. ⇒ СК=2•3=6 см

Из прямоугольного ∆ АСК по т.Пифагора АК=√(AC²+CK²)=√(144+36)=√180=6√5 см

Введем обозначения:
r - радиус окружности, вписанной в большой треугольник,
r₁ - радиус окружности, вписанной в синий треугольник,
r₂ - радиус окружности, вписанной в коричневый треугольник.

Будут использованы формулы:
h² = a₁b₁
a² = a₁c
b² = b₁c

Большой треугольник:
r = (a + b - c)/2 = (√(a₁c) + √(b₁c) - √(c²))/2 = √c·( √a₁ + √b₁ - √c)/2

Синий треугольник:
r₁ = (a₁ + h - a)/2 = (√(a₁)² + √(a₁b₁) - √(a₁c))/2 = √a₁·(√a₁ + √b₁ - √c)/2

Коричневый треугольник:
r₂ = (h + b₁ - b) /2 = (√(a₁b₁) + √(b₁)² - √(b₁c))/2 = √b₁·(√a₁ + √b₁ - √c)/2

r₁/r = √a₁/√c
r₂/r = √b₁/√c

Так как длины радиусов - целые числа, то с, a₁ и b₁ должны быть квадратами целых чисел.
Наименьший квадрат целого числа, который является суммой квадратов целых чисел, это 25  (25 = 9 + 16)
Тогда,

r₁/r = 3/5
r₂/r = 4/5

Так как радиусы должны быть наименьшими, это 3, 4 и 5.