Дан тетраэдр DABC. Построить сечение плоскостью параллельной плоскости АВС, и проходящая через середины ребер AD, DB, DC. Найти площадь полученного сечения, если площадь треугольника АВС равна 44.
Решение задачи:Проведем отрезок ОС, как показано на рисунке. Треугольники ACO и BCO - прямоугольные (по свойству касательной). То есть углы CAO и CBO равны по 90° каждый. OC - является биссектрисой для угла ACB (по свойству касательных), следовательно углы ACO и BCO равны 6°/2=3°. По теореме о сумме углов треугольника, для треугольника ACO запишем: 180°=∠OAC+∠ACO+∠COA 180°=90°+3°+∠COA ∠COA=180°-90°-3°=87° Аналогично, для треугольника BCO получим, что ∠COB=87° ∠AOB=∠COA+∠COB=87°+87°=174° Проведем отрезок AB и рассмотрим треугольник ABO. По теореме о сумме углов треугольника запишем: 180°=∠AOB+∠BAO+∠ABO 180°=174°+∠BAO+∠ABO ∠BAO+∠ABO=6° ABO равнобедренный треугольник, т.к. OA и OB - радиусы окружности и, поэтому, равны. Следовательно ∠ABO=∠BAO (по свойству равнобедренного треугольника). И получается, что ∠ABO=∠BAO=6°/2=3° ответ: ∠ABO=3°
Найдем площадь диагонального сечения. Это прямоугольник, у которого одна сторона равна а, а вторая - диагональ грани, равна a√2.
Площадь сечения S(сеч) = a*a√2 = a^2*√2 = D^2*√2/3
Площадь полной поверхности S(куб) = 6a^2 = 6D^2/3 = 2D^2
Объем куба V(куб) = a^3 = D^3/√27 = D^3*√3/9
Подставляем числа
1) D = 3 м; S(сеч) = 9√2/3 = 3√2 м^2; S(куб) = 2D^2 = 18 м^2;
V(куб) = 27√3/9 = 3√3 м^3
2) D = 6 дм; S(сеч) = 36√2/3 = 18√2 дм^2; S(куб) = 2D^2 = 72 дм^2;
V(куб) = 216√3/9 = 24√3 дм^3
2. Диагональ основания d = a√2.
Половина диагонали d/2, высота пирамиды h и боковое ребро L образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора.
L = √((d/2)^2 + h^2) = √(a^2/2 + h^2)
h = √(L^2 - (d/2)^2) = √(L^2 - a^2/2)
Апофема b, боковое ребро L и половина основания a/2 тоже образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора
b = √(L^2 - (a/2)^2) = √(4L^2 - a^2)/2
Площадь основания S(осн) = a^2.
Площадь боковой грани
S(гр) = a*b/2 = a/2*√(4L^2 - a^2)/2 = a√(4L^2 - a^2)/4
Площадь боковой поверхности
S(бок) = 4*S(гр) = a√(4L^2 - a^2)
Площадь полной поверхности
S(пир) = S(осн) + S(бок) = a^2 + a√(4L^2 - a^2)
Объем V(пир) = 1/3*a^2*h
Подставляем числа:
1) a = 2 см, h = 4 см, L = √(a^2/2 + h^2) = √(4/2 + 16) = √18 = 3√2 см
S(бок) = 2√(4*18 - 4) = 4√(18 - 1) = 4√17 см^2 ; S(пир) = 4 + 4√17 см^2
V(пир) = 1/3*2^2*4 = 1/3*4*4 = 16/3 см^3
2) a = 6 дм, L = 5 дм, h = √(L^2 - a^2/2) = √(25 - 36/2) = √(25-18) = √7 дм
S(бок) = 6*√(4*25 - 36) = 6*8 = 48 дм^2; S(пир) = 36 + 48 = 84 дм^2
V(пир) = 1/3*6^2*√7 = 1/3*36*√7 = 12√7 дм^3
Треугольники ACO и BCO - прямоугольные (по свойству касательной).
То есть углы CAO и CBO равны по 90° каждый.
OC - является биссектрисой для угла ACB (по свойству касательных), следовательно углы ACO и BCO равны 6°/2=3°.
По теореме о сумме углов треугольника, для треугольника ACO запишем:
180°=∠OAC+∠ACO+∠COA
180°=90°+3°+∠COA
∠COA=180°-90°-3°=87°
Аналогично, для треугольника BCO получим, что ∠COB=87°
∠AOB=∠COA+∠COB=87°+87°=174°
Проведем отрезок AB и рассмотрим треугольник ABO.
По теореме о сумме углов треугольника запишем:
180°=∠AOB+∠BAO+∠ABO
180°=174°+∠BAO+∠ABO
∠BAO+∠ABO=6°
ABO равнобедренный треугольник, т.к. OA и OB - радиусы окружности и, поэтому, равны. Следовательно ∠ABO=∠BAO (по свойству равнобедренного треугольника). И получается, что ∠ABO=∠BAO=6°/2=3°
ответ: ∠ABO=3°