Дан равносторонний треугольник kfm.

f
trijst_uzd1.png
k m

найди центр и угол поворота, чтобы при выполнении этого поворота:

1) каждая точка стороны km перешла в соответственную точку стороны mf;

2) каждая точка стороны mf перешла в соответственную точку стороны fk;

3) каждая точка стороны fk перешла в соответственную точку стороны km.

иными словами: треугольник отобразился в себя.

угол поворота:
градусов.

центр поворота:
центр окружности, описанной около треугольника
точка пересечения медиан
серединная точка одной (любой) из сторон
центр окружности, вписанной в треугольник
одна (любая) из вершин

X, Y - центры окружностей ACD и ABE; O - центр окружности ABC

△XTO~△ABC (∠A =внешнему ∠T =∠X; проекции сторон XT и XO пропорциональны сторонам AB и AC)

Параллелограмм OXTY составлен из двух треугольников, подобных ABC => угол между его диагоналями, то есть между линией центров XY и AO не зависит от выбора точки D.

Общая хорда AH перпендикулярна линии центров => угол хорды AH и положение точки G не зависят от выбора точки D.

Пусть точки D и E совпадают в точке A.

Тогда окружности касаются сторон AB и AC.

∠ABH=∠CAH, ∠ACH=∠BAH => △AHB~△CHA

высоты из H пропорциональны сторонам AB и AС

=> Н лежит на симедиане к основанию BC.

По свойству симедианы BG/GC =(AB/AC)^2

6. DB = 13см

Объяснение:

#5

∆ЕОМ = ∆КОМ по 1 признаку (ЕО=ОК; ЕМ=КМ; <ЕОМ= <КОМ) => <ОМЕ = <КМО (как соответствующие элементы)

∆ЕСМ = ∆КСМ по 1 признаку (ЕМ=КМ; СМ- общая; <ЕМС = <КМС)

Что и требовалось доказать

#6

1) Из чертежа мы видим, что <ОАВ = <ОВА => ∆ОАВ - р/б => ОА=ОВ

Раз <САВ = <DBA и <ОАВ = <ОВА => <САО= <DBO

∆САО = ∆DBO по 2 признаку (АО=ОВ; <САО = <DBO; <СОА = <DOВ как вертикальные)

Что и требовалось доказать

2) Из доказанного выше: ∆САО = ∆DBO => CA=DB (как соответствующие элементы) => DB=13см