Точка О — центр окружности, так как эта точка расположена на равном расстоянии от всех других точек окружности.
Так как СМ = АМ = 2 (ед), то ВМ⊥АС (не сложно доказать, если соединить точки С и О ; А и О, а потом рассмотреть полученный равнобедренный треугольник).
Рассмотрим ∆СВМ — прямоугольный (∠ВМС = 90°).
Найдём тангенс ∠С (отношение противолежащего катета к прилежащему) —
tg(∠C) = BM : CM = 5 (ед) : 2 (ед) = 2,5.
Если посмотреть в таблицу Брадиса, то это примерное значение тангенса угла в 68°.
В основании правильной треугольной пирамиды лежит правильный треугольник. Вершина такой пирамиды проецируется в центр основания. Центр правильного треугольника является точка О - точка пересечения бисссектрис, медиан и высот. СН = h , ∠ACB = αВ ΔАВС: Медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.СО:ОН = 2:1 ⇒ СО = 2•СН/3 = 2h/3В ΔСАН: sin60° = CH/AC ⇒ AC = CH/sin60° = CH/(√3/2) = 2h/√3В ΔСМО: tgα = MO/CO ⇒ MO = CO•tgα = 2h•tgα/3V пир. = (1/3)•Sabc•MO = (1/3) • (AC²•√3/4) • MO = (1/3) • (2h/√3)² • (√3/4) • (2h•tgα/3) = 2√3•h³•tgα/27ОТВЕТ: V = 2√3•h³•tgα/27
Проведём отрезок ВР.
Точка О — центр окружности, так как эта точка расположена на равном расстоянии от всех других точек окружности.
Так как СМ = АМ = 2 (ед), то ВМ⊥АС (не сложно доказать, если соединить точки С и О ; А и О, а потом рассмотреть полученный равнобедренный треугольник).
Рассмотрим ∆СВМ — прямоугольный (∠ВМС = 90°).
Найдём тангенс ∠С (отношение противолежащего катета к прилежащему) —
tg(∠C) = BM : CM = 5 (ед) : 2 (ед) = 2,5.
Если посмотреть в таблицу Брадиса, то это примерное значение тангенса угла в 68°.
≈ 68°.
В правильной треугольной пирамиде высота основания равна h, боковые рёбра наклонены к основанию под углом α. Найти объём пирамиды.
===========================================================
В основании правильной треугольной пирамиды лежит правильный треугольник. Вершина такой пирамиды проецируется в центр основания. Центр правильного треугольника является точка О - точка пересечения бисссектрис, медиан и высот. СН = h , ∠ACB = αВ ΔАВС: Медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.СО:ОН = 2:1 ⇒ СО = 2•СН/3 = 2h/3В ΔСАН: sin60° = CH/AC ⇒ AC = CH/sin60° = CH/(√3/2) = 2h/√3В ΔСМО: tgα = MO/CO ⇒ MO = CO•tgα = 2h•tgα/3V пир. = (1/3)•Sabc•MO = (1/3) • (AC²•√3/4) • MO = (1/3) • (2h/√3)² • (√3/4) • (2h•tgα/3) = 2√3•h³•tgα/27ОТВЕТ: V = 2√3•h³•tgα/27