Дан куб abcda1b1c1d1. точка k - середина ребра c1d1. а) докажите, что расстояние от вершины a1 до прямой bk равно ребру куба. б) найдите угол между плоскостями kba1 и add1.

Компоненты векторов:

AB = (-2-3;0-6,5-2) = (-5;-6,3)

AC = (-4-3;5-6,9-2) = (-7;1,7)

С одной стороны скалярное произведение пары векторов AB и AC

s = |AB|*|AC|*cos(a), где a - искомый угол между ними, а длины векторов можно определить через корень из суммы из координатных компонент:

|AB| = корень((-5)^2+(-6)^2+3^2) = корень(25+36+9) = корень(70)

|AС| = корень((-7)^2+(-1)^2+7^2) = корень(49+1+49) = корень(99)

то есть

s = корень(70)*корень(99)*cos(a)

или

cos(a) = s/корень(70*99)

А с другой - скалярное произведения векторов заданных координатами нетрудно определить суммой произведения их координатных компонент:

s = -5*(-7) + (-6)*1 + 3*7 = 35-6+21 = 50

Таким образом искомый угол

a = arccos(50/корень(70*99)) или примерно arccos(0.6) или около 53 градусов

Объем - это площадь основания на высоту. Площадь основания есть площадь ромба, а высоту можешь найти исходя из того, что диагональные сечения есть прямоугольники, ширина обеих - высота, а длины равны длинам соответствующих диагоналей. Произведение диагоналей находишь из определения площади ромба. S= произведение диагоналей делённое пополам, то есть ab/2. Отсюда ab=60. Это же произведение можно ещё представить, как (96/h) *(40\h) = 3840/(h^2), где h - высота

3840/h^2 = 60, откуда h^2 = 64, откуда h=8.

Объем равен 30*8 = 240