Дан куб abcda1b1c1d1 с ребром длины 1. точка p-середина ребра a1d1, точка q делит отрезок ab1 в отношении 2: 1, считая от вершины a, r- точка пересечения отрезков bc1 и b1c. постройте сечение куба плоскостью pqr. найдите периметр сечения и отношение, в котором плоскость сечения делит диагональ ac1 куба

Пусть АВСD - данный ромб. АС = 16 см, ВD = 12 см. О - точка пересечения диагоналей и центр вписанной окружности.

1. Из треугольника АОВ находим сторону ромба.

АО = ½ АС = 8 см, ВО = ½ ВD = 6 см - (свойство диагоналей параллелограма).

АВ² = АО²+ВО² - (теорема Пифагора)

АВ = 10 см

2. В точку касания окружности к стороне АВ (обозначим ее К) проводим радиус ОК.  ОК перпендикулярно АВ.

3. Рассмотрим два прямоугольных треугольника АКО и ВКО.

По теореме Пифагора:

ОК² = АО² - АК² 

ОК² = ВО² - КВ²

4. Приравниваем правые части полученных равенств, так как левые равны.

АО² - АК² = ВО² - КВ²  

Пусть АК = х, тогда КВ = 10 -х. Имеем:

64 - х² = 36 - (10 - х)²

64 - х² - 36 + 100 - 20х + х² = 0

20х = 128

х = 6,4 

АК =  6,4 см.

5. Из равенства  ОК² = АО² - АК² находим радиус.

ОК² = 64 - 40,96 = 23,04

ОК = 4,8 см.

ответ. 4,8 см. 

1. Пусть 1 часть - х, тогда х+2х+3х=180°, х=30°, 2х=60°, 3х=90°

Получили прямоугольный треугольник. Большая сторона-гипотенуза, меньшая-лежит против угла 30°и равна половине гипотенузы. Примем ее за х, тогда гипотенуза-2х, составим уравнение

х+2х=7,2

3х=7,2

х=2,4

2х=4,8 см.

ответ: 4,8 см - большая сторона

2. Высота в равнобедренном треугольнике является биссектрисой, то есть делит угол на два равных по 45°. При этом образуется еще два равнобедренных треугольника, высота и половина основания(8/2=4см) являются ребрами, то есть они равны!

 ответ: 4 см

3.  Посмотрите вложенный файл. При построении образуются два треугольника ΔАОС и ΔВОЕ

∢СОА=∢ЕОВ - как вертикальные,

∢САО=∢ЕВО=90° - так как СА и ЕВ - расстояния от точки до прямой, то есть перпендикуляры,

АО=ОВ - по условию

Значит    ΔАОС=ΔВОЕ- по ІІ признаку равенства треугольников.

Отсюда СА=ЕВ=4см

 ответ:4 см.

4. Пусть одна часть равна - х, тогда МА-2х, МВ-3х. Составим уравнение:

2х+3х=45

5х=45

х=9

МВ=27 см.

ответ: 27 см.