Дан куб ABCDA1B1C1D1. 1. С каких движений вершины A,A1,D1,D переходят соответственно в вершины B,B1,C1,C?
Все названные движения Параллельный перенос Ни одно из названных движений Симметрия относительно плоскости Симметрия относительно точки Симметрия относительно оси
2. С каких движений вершины B,B1,C1,C переходят соответственно в вершины D1,D,A,A1?
Симметрия относительно плоскости Симметрия относительно точки Симметрия относительно оси Все названные движения Ни одно из названных движений Параллельный перенос
3. С каких движений вершины B,B1,C1,C переходят соответственно в вершины B,C,C1,B1?
Симметрия относительно оси Все названные движения Ни одно из названных движений Симметрия относительно плоскости Симметрия относительно точки Параллельный перенос
Из условия, что четыре ребра куба параллельны диагонали основания пирамиды, делаем вывод: вершины основания куба лежат на осях основания пирамиды, а 4 других вершины куба лежат на апофемах пирамиды.
Проведём осевое сечение пирамиды через 2 противоположные апофемы.
Куб рассечётся по диагонали, его сечение - прямоугольник. Пусть высота его равна "х", ширина как диагональ равна "х√2".
Из подобия треугольников сечения составим пропорцию:
1) Первый пункт задачи должен быть сформулирован так:
докажите, что все вершины четырехугольника АВСD лежат в одной плоскости, если его диагонали АС и ВD пересекаются.
Воспользуемся теоремой: через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость и при том только одну.
Даны две пересекающиеся прямые АС и ВD. Проходящую через них плоскость обозначим α.
Прямая АС лежит в плоскости α, значит А∈α и В∈α.
Прямая ВD лежит в плоскости α, значит В∈α и D∈α.
Точки А, В, С, D принадлежат плоскости α, т.е. все вершины четырехугольника АВСD принадлежат плоскости α.
Что и требовалось доказать.
2) Рисунок к задаче прикреплен. Дан четырехугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны и известны длины этих диагоналей (смотри рисунок).
Воспользуемся формулой для вычисления площади четырехугольника по двум диагоналям и углу между ними.
ответ: площадь АВСD равна 60 см².
Из условия, что четыре ребра куба параллельны диагонали основания пирамиды, делаем вывод: вершины основания куба лежат на осях основания пирамиды, а 4 других вершины куба лежат на апофемах пирамиды.
Проведём осевое сечение пирамиды через 2 противоположные апофемы.
Куб рассечётся по диагонали, его сечение - прямоугольник. Пусть высота его равна "х", ширина как диагональ равна "х√2".
Из подобия треугольников сечения составим пропорцию:
(9 - х)/(х√2/2) = 9/2.
9х√2 = 36 - 4х,
х(4 + 9√2) = 36,
х = 36/(4 + 9√2) ≈ 2,152090371 .
ответ: длина ребра куба примерно равна 2,15.