Дан ∠ AOB = 54°. Внутри угла AOB построен луч OC такой, что ∠ AOC = 2∠ BOC. Найдите углы ∠ AOC и ∠ BOC.
2. Угол AOB равен 100°. OD – биссектриса угла AOB. OC – биссектриса угла BOD. Найдите угол COD
3. Из вершины угла ABC, величина которого равна 152°, проведена биссектриса BE, в результате чего образовалось два острых угла. Какова величина каждого из образовавшихся углов?

Доказываем от противного. Пусть биссектриса внешнего угла при вершине А треугольника параллельна стороне ВС. Тогда (и ТОЛЬКО ТОГДА) <B=<EAB как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых АЕ (биссектриса внешнего угла DAB) и ВС и секущей АВ. То есть угол В равен половине внешнего угла. Но внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним, следовательно <B=<C и треугольник АВС равнобедренный. АВ=АС.
Если же биссектриса внешнего угла не параллельна стороне ВС, то равенство углов В и С нарушается и стороны АВ и АС не равны. Что и требовалось доказать.

Треугольники ВОС и АОД - прямоугольные и равнобедренные, т. к. трапеция равнобедренная.
Высота проходящая через точку пересечения диагоналей будет осью симметрии. И делит указанные выше треугольники точно пополам
Получившиеся треугольники ОМС и ОМВ - тоже равнобедренные, тк у них один угол = половина ПРЯМОГО УГЛА (пересечение перпендикулярных диагоналей) , а второй угол =90 градусов (т. к. высота) . Поэтому на третий тоже остаётся половина 90 градусов. Т. е. углы при основаниях равны, след-но треугольник равнобедрен.
А это значит, что ВМ=МО. Но ВМ = половинка ВС, которая =12, т. е. ВМ=6=МО=6. Так?

Аналогично рассматривает треугольник АОД, который тоже равнобедрен, который тоже высота делит пополам на два равнобедренных, а значит NO=ND=NA=10
А высота всей трапеции = NO+OM=6+10 = 16.
А площадь = (ВС+АД) *MN/2