Cторона правильного треугольника, вписанного в окружность, равно 8 см. Найдите периметр квадрата, вписанного в эту окружность.
Б) Периметр квадрата, вписанного в окружность равен 18 см. Найдите сторону правильного треугольника вписанного в эту окружность
ВВ₁ и DD₁ - медианы, значит
AD₁ = D₁B = AB₁ = B₁D = 3/2 см
ΔABD равнобедренный, поэтому
∠ABD = ∠ADB,
BD₁ = DB₁, BD - общая сторона для ΔDD₁B и ΔBB₁D, значит эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, ⇒
BB₁ = DD₁.
Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины.
Обозначим OD₁ = OB₁ = x, тогда OD = OB = 2x.
ΔOBD равнобедренный, значит ∠OBD = ∠ODB = 40°.
∠D₁OB = ∠OBD + ∠ODB = 80° как внешний угол ΔDOB.
Рассмотрим ΔD₁OB. По теореме косинусов
D₁B² = OD₁² + OB² - 2·OD₁·OB·cos 80°
9/4 = x² + 4x² - 2 · x · 2x · cos80°
9/4 = 5x² - 4x² · cos80°
9/4 = x² (5 - 4cos80°)
x² = 9 / (4(5 - 4cos80°))
x = 3 / (2√(5 - 4cos80°))
BB₁ = 3x = 9 / (2√(5 - 4cos80°)) или
Если необходимо числовое значение, а не выражение, можно взять значение cos 80° по таблице, тогда получится:
cos 80° ≈ 0,1736
BB₁ = 9 / (2√(5 - 4cos80°)) ≈ 2,2
Примем основания трапеции равными заданным длинам сторон
АВ=10 СД=13.
Высота трапеции равна:
h = ((СД - АВ)/2)/tg15° = ((13 - 10)/2 )/(2-√3) = 1,5/0,267949 = 5.598076.
Боковая сторона равна а = √(((13-10)/2)²+h²) =
= √(1,5²+5.598076²) = √(2,25+31.33846) = √33.58846 = 5.795555.
Диагональ трапеции равна d = √((13/2)+(10/2))²+h²) =
= √(11,5²+5.598076²) = √ 163.5885 = 12.79017.
Радиус окружности, описанной около трапеции, равен радиусу окружности, описанной около треугольника со сторонами, равными нижнему основанию трапеции, её боковой стороне и диагонали.
R = adc/(4√(p(p-a)(p-d)(p-c)).
Полупериметр р = (a+d+c)/2 = 15,694123.
Тогда радиус равен R = 6.6092285.