CРОЧНО Контрольная работа №1.
Вариант 1.
1. Луч ОА проходит между сторонами угла DОВ. Найдите величину угла DОВ, если <АОВ=56º, 2. Один из углов, образованных при пересечении двух прямых, равен 37°. Найдите градусные меры остальных углов.
3. Один из смежных углов в 6 раза меньше другого. Найти смежные углы.
4. На рисунке АС= СВ, DС= NВ. Доказать, что АD=СN.
A D C N B

5.Углы АСВ и ВСD смежные, а луч СМ – биссектриса угла АСВ. Угол АСM в 4 раза больше угла ВСD. Найдите углы ВСD и АСM.
6.Точки А, В, С лежат на одной прямой. Отрезок АС=15 см, а отрезок АВ в 4 раза больше ВС. Найдите отрезок АВ.

Из условия: 
1) основание - квадрат
2) проекция стороны на основание -прямоугольный треугольник
3) в разрезе пирамиды по углам и вершине тоже треугольник

решение:
треугольник с вершинами 1. вершина пирамиды 2.угол основания 3.нижняя точка высоты (центр основания) прямоугольный - угол 60 градусов, катет 4 см - второй катет 4/ tg60°
проекция стороны на основание - прямоугольный треугольник - равнобедренный - катет 4/ tg60, а гипотенуза будет (4/ tg60°) / sin 45° (в прямоугольном равнобедренном треугольнике углы при гипотенузе равны  по 45 градусов )
это и будет ответом - (4/ tg60°) / sin 45°

1) Возможно, тут и как-то по-другому нужно доказывать, но так тоже всё верно:
, как диагонали равных квадратов, значит Δ - равнобедренный, О - середина АС, значит - медиана, биссектриса и высота, то есть ⊥
ЧТД

2) Можно по достаточному условию перпендикулярности прямой и плоскости:
Для перпендикулярности заданных прямой и плоскости достаточно, чтобы прямая была перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.
⊥ , ⊥ , значит ⊥ , и перпендикулярна любой прямой этой плоскости, в том числе , значит ∠
ЧТД

Можно по теореме о трёх перпендикулярах:
Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной.
Здесь ещё проще: АВ проведена через основание наклонной , - проекция на плоскость АВС и ⊥, значит ⊥ и ∠
ЧТД