Цилиндр описан вокруг прямой треугольной призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник с острым углом 60°. вычислите объем призмы, если радиус основания цилиндра равен 40 см и диагональ большей боковой грани образует с плоскостью основания призмы угол 60°
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник:
b
r = ----------- , где b - сторона правильного треугольника
2√3
b = r * 2√3
b = 3√3 * 2√3 = 6 * 3 = 18 (cм)
Периметр треугольника - сумма длин всех сторон
p = b + b + b = 3b
p = 3 * 18 = 54 (cм)
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему:
S= 1/2 * p * a, где p - периметр основания пирамиды, а - апофема
S = 1/2 * 54 * 9 = 243 (cм²)
НАЙТИ: S бок. пов.
______________________________
1) угол между боковой гранью SAF и основанием ABCDEF ( FAH ) — это линейный угол двугранного угла HFAS.
Линейным углом двугранного угла называется угол, образованный лучами с вершиной на ребре, лучи которого лежат на гранях двугранного угла и перпендикулярны ребру
2) Рассмотрим ∆ SAF ( SA = SF ):
Опустили высоту SE
Высота в равнобедренном треугольнике является и медианой, и биссектрисой → AE = EF
отрезок SH ( высота пирамиды ) перпендикулярен ( АВС )
Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости
Значит, SH перпендикулярен НЕ
SE перпендикулярен AF
Из этого следует, что НЕ перпендикулярен АF по теореме о трёх перпендикулярах
Соответственно, угол SEH = 45° - линейный угол двугранного угла HFAS
2) Рассмотрим ∆ SEH (угол SHE = 90°):
Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике всегда равна 90° →
угол ESH = 90° - 45° = 45°
Значит, ∆ SEH — прямоугольный и равнобедренный, SH = EH
По теореме Пифагора:
ES² = SH² + EH²
ES² = 2 × SH²
10² = 2 × SH²
SH² = 100/2 = 50
SH = EH = 5√2 см
3) В основании правильной шестиугольной пирамиды лежит правильный шестиугольник. Бо'льшие диагонали прав. шестиугольника пересекаются в одной точке и делятся пополам, к тому же бо'льшие диагонали являются биссектрисами шестиугольника. Все углы прав. шестиугольника равны 120°.
Рассмотрим ∆ FAH :
угол HAF = угол AFH = 60°
Соответственно, угол AHF = 180° - 60° - 60° = 60°
Значит, ∆ FAH — равносторонний
AF = AH = HF
Сторона равностороннего треугольника вычисляется по формуле:
где а - сторона равностороннего треугольник, h - высота →
AF = ( 2√3 × HE ) / 3 = 2√3 × 5√2 / 3 = 10√6 / 3 см
4) У правильной шестиугольной пирамиды всего шесть боковых граней и все они равны друг другу →
S бок. пов. = 6 × S saf = 6 × ( 1/2 ) × 10 × ( 10√6 / 3 ) =
ОТВЕТ: S бок. пов. = 100√6 см²