Перевод: Хорда круга стягивает дугу 60 градусов. Найдите длину этой хорды, если диаметр окружности равен 22 см.
Решение. Пусть хорда AB стягивает хорду 60°. Проведём из конца хорды к центру O круга отрезки AO и BO (см. рисунок). Так как проведённые отрезки равны радиусу, то
r = AO = BO = d : 2 =22 см : 2 = 11 см.
Угол α между радиусами AO и BO центральный, тогда величина угла α равна длине дуги АВ, то есть α = 60°.
Далее, длину хорды можно найти различными
Радиусы AO и BO и хорда AB образуют треугольник ABO с углом при вершине в 60°. Так как AO=BO, то треугольник ABO равнобедренный. Тогда углы при основании AB треугольника равны:
∠A=∠B=(180°-α):2=(180°-60°):2=120°:2=60°.
Значит все углы треугольника ABO равны, откуда следует, что треугольник ABO равносторонний. Отсюда
AB=AO=BO= 11 см.
Радиус r = 11 см. Применим формулу нахождения длина хорды через центральный угол и радиус:
Раз прямоугольный, да еще и равнобедренный, то два катета равны по х см, а гипотенуза 12см. Тогда по теореме ПИфагора 2х²=12², или х²=12*6, откуда х=√72=6√2/см/
Площадь треугольника равна половине произведения его катетов, т.е. (1/2)*6√2*6√2=36/см²/, но с другой стороны, эта же площадь находится как произведение полупериметра треугольника на радиус окружности, вписанной в этот треугольник, т.е. полупериметр, равный (12+2*6√2)/2=6+6√2 надо умножить на искомый радиус и получим 36.
откуда радиус равен 36/(6+6√2)=36/(6*(1+√2))=6/(1+√2)=6(√2-1), а площадь круга равна Пи эр в квадрате. то есть Пи*(6(√2-1)²)=36*(3-2*√2)
ответ. 36(3-2√2)
2.Радиус окружности ищем по формуле площадь треугольника деленная на полупериметр.
Площадь треугольника найдем по формуле Герона.
Полупериметр треугольника р=
(15+15+24=)/2=27
27-15=12; 27-15=12; 27-24=3; значит, площадь равна корню квадратному из произведения, равного 12*12*3*27; 12*9=108, Площадь 12*9/27=4, деленная на полупериметр - это радиус. Значит, радиус равен 4 см. Тогда длина окружности равна два пи эр, т.е. 8 ПИ, а площадь круга пи эр в квадрате, т.е. 16 Пи.
11 см
Объяснение:
Перевод: Хорда круга стягивает дугу 60 градусов. Найдите длину этой хорды, если диаметр окружности равен 22 см.
Решение. Пусть хорда AB стягивает хорду 60°. Проведём из конца хорды к центру O круга отрезки AO и BO (см. рисунок). Так как проведённые отрезки равны радиусу, то
r = AO = BO = d : 2 =22 см : 2 = 11 см.
Угол α между радиусами AO и BO центральный, тогда величина угла α равна длине дуги АВ, то есть α = 60°.
Далее, длину хорды можно найти различными
Радиусы AO и BO и хорда AB образуют треугольник ABO с углом при вершине в 60°. Так как AO=BO, то треугольник ABO равнобедренный. Тогда углы при основании AB треугольника равны:
∠A=∠B=(180°-α):2=(180°-60°):2=120°:2=60°.
Значит все углы треугольника ABO равны, откуда следует, что треугольник ABO равносторонний. Отсюда
AB=AO=BO= 11 см.
Радиус r = 11 см. Применим формулу нахождения длина хорды через центральный угол и радиус:
AB=2·r·sin(α/2)=2·11 см·(1/2)=11 см.
Раз прямоугольный, да еще и равнобедренный, то два катета равны по х см, а гипотенуза 12см. Тогда по теореме ПИфагора 2х²=12², или х²=12*6, откуда х=√72=6√2/см/
Площадь треугольника равна половине произведения его катетов, т.е. (1/2)*6√2*6√2=36/см²/, но с другой стороны, эта же площадь находится как произведение полупериметра треугольника на радиус окружности, вписанной в этот треугольник, т.е. полупериметр, равный (12+2*6√2)/2=6+6√2 надо умножить на искомый радиус и получим 36.
откуда радиус равен 36/(6+6√2)=36/(6*(1+√2))=6/(1+√2)=6(√2-1), а площадь круга равна Пи эр в квадрате. то есть Пи*(6(√2-1)²)=36*(3-2*√2)
ответ. 36(3-2√2)
2.Радиус окружности ищем по формуле площадь треугольника деленная на полупериметр.
Площадь треугольника найдем по формуле Герона.
Полупериметр треугольника р=
(15+15+24=)/2=27
27-15=12; 27-15=12; 27-24=3; значит, площадь равна корню квадратному из произведения, равного 12*12*3*27; 12*9=108, Площадь 12*9/27=4, деленная на полупериметр - это радиус. Значит, радиус равен 4 см. Тогда длина окружности равна два пи эр, т.е. 8 ПИ, а площадь круга пи эр в квадрате, т.е. 16 Пи.