Через вершину D прямоугольника ABCD к его плоскости проведён перпендикуляр DE. Точка E удалена от стороны AB на 10 см, а от стороны BC — на 17 см. Найдите диагональ прямоугольника, если DE = 8 см.
Из услвия дано, что угол BAL=BLA, следовательно, треугольник BAL равнобедренный и AB=BL=6, но т.к. ABCD-параллелограмм, то AB=CD=BL=6. Угол BAL=LBC как внутренние накрест лажащие при BC//AL и BL-секущая. Угол BAL=BCL, т.к. ABCD- параллелограмм. Т.к. BL-биссектриса, то угол ABL=LBC=BAL=60 градусов, т.е. треуголник ABL равносторонний. Значит AL=AB=6. Обозначим отрезок LD=x, тогда сторона AD=BC=6+x( т.к. ABCD-параллелограмм)
Запишем формулу периметра:
P=2(AB+AD)
24=2(6+6+x)
12=12+x
x=0
Значит точка L совпадает с точкой D. Тогда периметр LDCB будет равен периметру треугольника DBC
Найдём диагональ АС основания АВСД по теореме Пифагора: АС² = АД² + СД²
АС² = 2² + 4² = 4 + 16 = 20
АС =√20 = 2√5.
А1С - диагональ параллелепипеда. Рассмотрим прямоугольный ΔАА1С с прямым углом А1АС. В нём А1С - гипотенуза, АС и АА1 - катеты. Используем снова теорему Пифагора: АА1² = А1С² - АС²
АА1² = (3√5)² - (2√5)² = 45 - 20 = 25
АА1 = √25 = 5.
Итак, мы знаем все три измерения прямоугольного параллелепипеда.
обознаяим а = 2, в = 4, с = 5
Боковая поверхность рапаллелепипеда состоит из 4-х граней, попарно равных и представляющих собой прямоугольники:
Для начала разберемся с углами;
Из услвия дано, что угол BAL=BLA, следовательно, треугольник BAL равнобедренный и AB=BL=6, но т.к. ABCD-параллелограмм, то AB=CD=BL=6. Угол BAL=LBC как внутренние накрест лажащие при BC//AL и BL-секущая. Угол BAL=BCL, т.к. ABCD- параллелограмм. Т.к. BL-биссектриса, то угол ABL=LBC=BAL=60 градусов, т.е. треуголник ABL равносторонний. Значит AL=AB=6. Обозначим отрезок LD=x, тогда сторона AD=BC=6+x( т.к. ABCD-параллелограмм)
Запишем формулу периметра:
P=2(AB+AD)
24=2(6+6+x)
12=12+x
x=0
Значит точка L совпадает с точкой D. Тогда периметр LDCB будет равен периметру треугольника DBC
Перимитр ABC=6+6+6=18
Найдём диагональ АС основания АВСД по теореме Пифагора: АС² = АД² + СД²
АС² = 2² + 4² = 4 + 16 = 20
АС =√20 = 2√5.
А1С - диагональ параллелепипеда. Рассмотрим прямоугольный ΔАА1С с прямым углом А1АС. В нём А1С - гипотенуза, АС и АА1 - катеты. Используем снова теорему Пифагора: АА1² = А1С² - АС²
АА1² = (3√5)² - (2√5)² = 45 - 20 = 25
АА1 = √25 = 5.
Итак, мы знаем все три измерения прямоугольного параллелепипеда.
обознаяим а = 2, в = 4, с = 5
Боковая поверхность рапаллелепипеда состоит из 4-х граней, попарно равных и представляющих собой прямоугольники:
Sбок = 2(а·с) + 2(в·с) = 2(2·5) + 2(4·5) = 20 + 40 = 60
Для высичления полной поверхности параллелепипеда необходимо к Sбок добавить площади верхнего и нижнего основания, которые равны:
Sн = Sв = S= а·в = 2·4 = 8
Sполн = Sбок + 2S = 60+2·8 = 76
ответ: Sбок = 60, Sполн = 76