Через вершину А прямокутного рівнобедреного трикутника АВС з гіпотенузою АВ, що дорівнює 8 см, проведено пряму АД, перпендикулярну до площини трикутника. Відстань від точки Д до площини АВС дорівнює 2 см. Знайдіть відстань від точки Д до прямої ВС.

ответ:   (3-sqrt(3))/(6*(1+sqrt(3))

Объяснение:

1. Найдем площадь треугольника АВС.

Проведем высоту ВН.  Тогда АН=АС:2=2:2=1

Угол А=углу С=pi/6=180/6=30 градусов  ( так как АВС- равнобедренный и АС- основание)

Тогда АВ=ВС= АН/cosA=1/cos30= 2/sqrt(3)

Тогда площадь треугольника АВС= S(ABC)= AB*AC*sinA/2=

=2*2/sqrt(3)/2/2=1/sqrt(3)= sqrt(3)/3

По свойству биссектрисы угла треугольника:

BЕ:ЕC=AB:AC  =>  BD:DC= 2/sqrt(3): 2= 1: sqrt(3)

Тогда  BЕ:BC=  1: (1+sqrt(3))

Тогда площадь треугольника  АВЕ равна:

S(ABE)= S(ABC)* 1/(1+sqrt(3))= sqrt(3)/3/(1+sqrt(3))       (1)

Заметим , что поскольку AD - медиана, то площадь треугольника S(ADB)=1/2 *S(ABC)= sqrt(3)/6                                     (2)

Тогда площадь треугольника ADE нужно вычислять как разность площадей треугольников ABD  и  ABE.   ( (2)- (1) )

S (ADE)= sqrt(3)/6- sqrt(3)/(3*(1+sqrt(3))=

=(sqrt(3)*(1+sqrt(3)- 2*sqrt(3))/(6*(1+sqrt(3))=

=(3+sqrt(3)-2*sqrt(3))/(6*(1+sqrt(3))=

=(3-sqrt(3))/(6*(1+sqrt(3))

ответ: 1:3

Объяснение:

Пусть АВ=а  .

Тогда АС= а* sqrt(2) - так как АВС равнобедренный

По той же причине АВ=ВС

Угол А=45 град, тогда угол AMN=90-45=45 град => тругольник AMN- равнобедренный =>  MN=AN

По условию задачи S(MNC)/S(ABC)=3:8

=> MN*NC/(AB*BC)=AN*NC/AB^2= AN*NC/a^2=3:8       (1)

AN=AC-NC= a*sqrt(2)-NC

=> (1) перепишем в следующем виде :

NC*(a*sqrt(2)-NC)/a^2=3/8

NC*sqrt(2)/a - NC^2/a^2 -3/8 =0

Пусть NC/a=x

=> x*sqrt(2)-x^2-3/8=0 <=> x^2-sqrt(2)*x+3/8=0

D=2-3/2=1/2

x1=(sqrt(2)-1/sqrt(2))/2 = (2-1)/(2*sqrt(2)=1/(2*sqrt(2))

x2=(sqrt(2)+1/sqrt(2))/2=3/(2*sqrt(2))

Если  NC/a= 1/(2*sqrt( 2)), то NC=a/(2*sqrt(2))

=> AN= a*sqrt(2) -a/(2*sqrt(2))=3*a/(2*sqrt(2)) Но в этом случае М не будет находится на АВ. => противоречие с условием задачи.

Тогда NC/a= 3/(2*sqrt( 2)), то NC=3*a/(2*sqrt(2))

=> AN= a*sqrt(2) -3*a/(2*sqrt(2))=a/(2*sqrt(2))

Тогда NC:AN= 3*a/(2*sqrt(2)): (a/(2*sqrt(2)))= 3:1

=> AN:NC=1:3