Через точку S не лежащую между параллельными плоскостями альфа и бета проведены 3 прямые, которые пересекают плоскость альфа в точках АВС, а плоскость бета в точках А1В1С1. Известно, что SA:AA1=2:1, и площадь треугольника АВС=4 см найти площадь треугольника А1В1С1.

1) Дано: АВ=ВС

BD - биссектриса

DC = 35

BC = 80

Найти: AD

Рассмотрим △АВD и △ВDC:

АВ=ВС

BD - биссектриса => ∠ABD =∠DBC

BD - общая

△АВD = △ВDC по 1 признаку => AD=DC=35

ответ: 1

2) Дано:

∠BAD = 37°

∠BCD = 52°

BD - медиана

BD=DE

Найти: ∠DCE

Рассмотрим △EDC и △ABD:

BD=DE

AD=DC

∠ADB = ∠EDC, т.к. они вертикальные

△EDC = △ABD по 1 признаку => ∠DCE = ∠DAB = 37°

ответ: 2

3) Найти: ∠NML и ∠LNM

Т.к. △KLM - равнобедренный, то ∠LKM = ∠LMK = 50°

Т.к. △KLM - равнобедренный, то LM - медиана и высота => ∠LNM = 90°

ответ: 4

4)Найти: ∠BDA

Рассмотрим △BDA и △CAD:

AB = CD

BD = AC

AD - общая

△BDA и △CAD по 3 признаку => ∠BDA = ∠CAD = 35°

ответ: ∠BDA = 35°

5)Найти: ∠АВС

Т.к. ВD - биссектриса, то ∠DBC = ∠ABD = 34 => ∠АВС = ∠DBC + ∠ABD = 34 + 34 = 68

6)Рассмотрим △ABC и △ADC:

AB = CD по условию

∠BAC = ∠DCA по условию

АС - общая

△ABC =△ADC по 1 призаку => ∠АВC = ∠ADC = 76°

7)1;3;4;5

Доказательство в объяснении.

Объяснение:

Ясно, что минимальная длина отрезка MN будет при совпадении точек B и D и точек С и Е. В этом случае M'N' станет средней линией треугольника АВС и будет равна AB (AD)/2.

Оставим точку Е совпадающей с точкой С, а точку D отметим в любом месте на продолжении стороны АВ за точку В.

Тогда M'N - средняя линия треугольника АDC и равна AD/2.

Отметим точку Е  в любом месте на продолжении стороны ВС за точку С. Получим треугольник M'MN в котором  сторона MN > M'N, так как если провести окружность с центром в точке N радиусом NM', то касательная M'H к этой окружности будет пересекать прямую MN в точке Н.

MN = MH+HN  =>

MN >(M'N = AD/2)

=> MN >AD/2.

Что и требовалось доказать.