Через точку O перетину діагоналей куба ABCDA1B1C1D1 проведено площину α паралельно грані куба DD1C1C. Доведіть, що кут KON = 90*, де K і N — відповідно точки перетину площини α з ребрами AD і BC.

1) Формула объёма конуса V=S•H:3=πr²H:3

Формула объёма шара

V=4πR³:3

Осевое сечение данного конуса - равносторонний треугольник, т.к. его образующая составляет с плоскостью основания угол 60°. 

Выразим радиус r конуса через радиус R шара.

r=2R:tg60°=2R/√3

V(кон)=π(2R/√3)²•2R²3=π8R³/9

V(шара)=4πR³/3

V(кон):V(шар)=[π8R³/9]:[4πR³/3]=(π•8R³•3/9)•4πR³=2/3

———————

2) Формула объёма цилиндра 

V=πr²•H

Формула площади осевого сечения цилиндра

S=2r•H

Разделим одну формулу на другую:

(πr²•H):(2r•H)=πr/2⇒

96π:48=πr/2⇒

4π=πr

r=4

Из площади осевого сечения цилиндра:

Н=S:2r=48:8=6

На схематическом рисунке сферы с вписанным цилиндром 

АВ- высота цилиндра, ВС - его диаметр, 

АС - диаметр сферы. 

АС=√(6²+8²)=√100=10

R=10:2=5 

S(сф)=4πR8=4π•25=100π см²

Площадь параллелограмма равна произведению высоты и стороны, к которой проведена высота.
Сторона параллелограмма дана ВС=19.
Необходимо найти высоту h.
Вообще-то она равна 14, т.е. удвоенное расстояние от точки К до стороны АВ.
Надо доказать,что расстояние от точки К до стороны ВС равно расстоянию от точки К до стороны АВ.
Соединим концы биссектрис углов А и В и обозначим буквами M и  N.
Полученная фигура ABNM - ромб. Доказывается равнобедренность треугольников ABN и AMN через равенство противолежащих углов.
Проведем перпендикуляры из точки К к сторонам ВС и AD. Они равны как высоты равных треугольников и равны расстоянию от точки К к стороне АВ, т. е. равны 7. Таким образом высота параллелограмма равна 14.
Площадь равна 14*19