Через точку d, лежащую на биссектрисе bm, неразвёрнутого угла abc, проведена прямая, параллельные прямой ab и пересекающая сторону bc в точке e. найдите углы треугольника bde если угол mbe равен 64 градуса

Обозначения: О - центр основания (проекция вершины Р на основание, РО - высота пирамиды), К - середина MN. 

MN = 3√2. 

В треугольнике POM (или в PON, они равны) PO = 4; OM = 3; поэтому PN = PM = 5;

PK = √(5^2 - (3√2/2)^2) = √(41/2);

Площадь треугольника PMN Spmn = (3√2)*√(41/2)/2 = 3√41/2;

Площади треугольников PCM и PCN равны 3*5/2 = 15/2;

Площадь основания - треугольника CMN равна 3*3/2 = 9/2;

Отсюда объем пирамиды PCMN V = (9/2)*4/3 = 6;

Площадь всей поверхности S = 3√41/2 + 15/2 + 15/2 + 9/2 = 3(13 + √41)/2;

Радиус вписанной сферы r = 3V/S = 3*6/(3(13 + √41)/2) = 12/(13 + √41);

Если не понятно, почему  r = 3V/S, то надо мысленно соединить центр сферы с вершинами пирамиды - тогда она разобьется на 4 пирамиды, в которых основаниями служат боковые грани, а высотами - радиусы сферы, проведенные в точки касания.

ЗАДАЧА 1 Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 24см, а проведена до неї висота -16см. Знайдіть радіус кола, вписаного в трикутник.
Решение:
Боковая сторона нашего треугольника по Пифагору равна √(16²+12²) = √400 =20см.
По формуле радиуса вписанной окружности имеем:
r = b/2*√(2a-b)/(2a+b), где b - основание, а - боковая сторона.
r= 24/2*√(40-24)/(40+24) = 6см.

ЗАДАЧА 2 Діагональ, бічна сторона і більша основа рівнобедреної трапеції дорівнюють відповідно 40см, 13 см і 51 см. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трапеції.
Решение:
Есть фрмулы радиуса описанной окружности трапеции по сторонам и диагонали:
R = adc/4√p(p-a)(p-d)(p-c), где a - боковая сторона, d- диагональ, с - большее основание. p = (a+d+c)/2 = 52.
R = 26520/(4*√52*39*12*1) = 6630/√24336 = 6630/156 = 42,5см.