Через конечную точку C диагонали AC=22,8 ед. изм. квадрата ABCD проведена прямая перпендикулярно диагонали AC. Проведённая прямая пересекает прямые AB и AD в точках M и N соответственно. Определи длину отрезка MN.
Известно, что прямая пересекает плоскость, если она не принадлежит этой плоскости и не параллельна ей. Следуя приведенному ниже алгоритму, найдем точку пересечения прямой a с плоскостью общего положения α, заданной следами h0α, f0α.
Алгоритм
Через прямую a проводим вс фронтально-проецирующую плоскость γ. На рисунке обозначены её следы h0γ, f0γ.
Строим проекции прямой AB, по которой пересекаются плоскости α и γ. В данной задаче точка B' = h0α ∩ h0γ, A'' = f0α ∩ f0γ. Точки A' и B'' лежат на оси x, их положение определяется по линиям связи.
Прямые a и AB пересекаются в искомой точке K. Её горизонтальная проекция K' = a' ∩ A'B'. Фронтальная проекция K'' лежит на прямой a''.
Точка пересечения прямой и плоскости
Алгоритм решения останется тем же, если пл. α будет задана параллельными, скрещивающимися прямыми, отсеком фигуры или другими возможными .
Видимость прямой a относительно плоскости α. Метод конкурирующих точек
Определение видимости прямой
Отметим на чертеже фронтально-конкурирующие точки A и С (рис. ниже). Будем считать, что точка A принадлежит пл. α, а С лежит на прямой a. Фронтальные проекции A'' и С'' совпадают, но при этом т. A и С удалены от плоскости проекций П2 на разное расстояние.
Найдем горизонтальные проекции A' и C'. Как видно на рисунке, точка C' удалена от плоскости П2 на большее расстояние, чем т. A', принадлежащая пл. α. Следовательно, участок прямой а'', расположенный левее точки K'', будет видимым. Участок a'' правее K'' является невидимым. Отмечаем его штриховой линией.
Отметим на чертеже горизонтально-конкурирующие точки D и E. Будем считать, что точка D принадлежит пл. α, а E лежит на прямой a. Горизонтальные проекции D' и E' совпадают, но при этом т. D и E удалены от плоскости П1 на разное расстояние.
Определим положение фронтальных проекций D'' и E''. Как видно на рисунке, точка D'', находящаяся в пл. α, удалена от плоскости П1 на большее расстояние, чем т. E'', принадлежащая прямой a. Следовательно, участок а', расположенный правее точки K', будет невидимым. Отмечаем его штриховой линией. Участок a' левее K' является видимым.
Объяснение: Через две пересекающиеся прямые AC и BD проведём плоскость АВСD. Четырёхугольник ABCD лежит в одной плоскости, так как две пересекающиеся прямые АС и BD определяют единственную плоскость. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны⇒ АВ ║CD. Тогда треугольникм АКВ и CKD подобны по двум углам (имеем даже три равных угла - <CKD=<AKB как вертикальные, а <BAC(BAK)=<ACD(KCD) и <ABD(ABK)=<BDC(KDC) как накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущих АС и BD соответственно). Коэффициент подобия равен k=AB/CD=1/2. Из подобия имеем: KB/KD=1/2 => KD=KB*2 = 10см.
Известно, что прямая пересекает плоскость, если она не принадлежит этой плоскости и не параллельна ей. Следуя приведенному ниже алгоритму, найдем точку пересечения прямой a с плоскостью общего положения α, заданной следами h0α, f0α.
Алгоритм
Через прямую a проводим вс фронтально-проецирующую плоскость γ. На рисунке обозначены её следы h0γ, f0γ.
Строим проекции прямой AB, по которой пересекаются плоскости α и γ. В данной задаче точка B' = h0α ∩ h0γ, A'' = f0α ∩ f0γ. Точки A' и B'' лежат на оси x, их положение определяется по линиям связи.
Прямые a и AB пересекаются в искомой точке K. Её горизонтальная проекция K' = a' ∩ A'B'. Фронтальная проекция K'' лежит на прямой a''.
Точка пересечения прямой и плоскости
Алгоритм решения останется тем же, если пл. α будет задана параллельными, скрещивающимися прямыми, отсеком фигуры или другими возможными .
Видимость прямой a относительно плоскости α. Метод конкурирующих точек
Определение видимости прямой
Отметим на чертеже фронтально-конкурирующие точки A и С (рис. ниже). Будем считать, что точка A принадлежит пл. α, а С лежит на прямой a. Фронтальные проекции A'' и С'' совпадают, но при этом т. A и С удалены от плоскости проекций П2 на разное расстояние.
Найдем горизонтальные проекции A' и C'. Как видно на рисунке, точка C' удалена от плоскости П2 на большее расстояние, чем т. A', принадлежащая пл. α. Следовательно, участок прямой а'', расположенный левее точки K'', будет видимым. Участок a'' правее K'' является невидимым. Отмечаем его штриховой линией.
Отметим на чертеже горизонтально-конкурирующие точки D и E. Будем считать, что точка D принадлежит пл. α, а E лежит на прямой a. Горизонтальные проекции D' и E' совпадают, но при этом т. D и E удалены от плоскости П1 на разное расстояние.
Определим положение фронтальных проекций D'' и E''. Как видно на рисунке, точка D'', находящаяся в пл. α, удалена от плоскости П1 на большее расстояние, чем т. E'', принадлежащая прямой a. Следовательно, участок а', расположенный правее точки K', будет невидимым. Отмечаем его штриховой линией. Участок a' левее K' является видимым.
Объяснение: Через две пересекающиеся прямые AC и BD проведём плоскость АВСD. Четырёхугольник ABCD лежит в одной плоскости, так как две пересекающиеся прямые АС и BD определяют единственную плоскость. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны⇒ АВ ║CD. Тогда треугольникм АКВ и CKD подобны по двум углам (имеем даже три равных угла - <CKD=<AKB как вертикальные, а <BAC(BAK)=<ACD(KCD) и <ABD(ABK)=<BDC(KDC) как накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущих АС и BD соответственно). Коэффициент подобия равен k=AB/CD=1/2. Из подобия имеем: KB/KD=1/2 => KD=KB*2 = 10см.
ответ: KD=10см.