2.
ABCD - параллелограмм
BC || AD; ED - секущая, тогда
∠ADE=∠DEC=55°(внутренние накрест лежащие)
ΔECD - равнобедренный значит
∠DEC=∠EDC=55°
∠BED=180°-55°=125°(смежные)
∠DEC+∠EDC+∠C=180°(сумма всех углов треугольника)
55°+55°+∠C=180°, отсюда ∠C=70°
∠C=∠А=70°
∠А+∠B=180°(свойство параллелограмма)
70°+∠B=180°, значит ∠B=110°
∠B=∠D=110°
ответ: ∠DEC=∠EDC=55°;∠C=∠А=70°; ∠B=∠D=110°
3.
RM - биссектриса, значит
∠LRM=∠MRS=90°/2=45°
∠LMR=180°-(45°+90°)=45° (сумма всех углов треугольника)
ответ: ∠LRM=∠MRS=45°;∠LMR=45°;∠K=∠S=90°
2.
ABCD - параллелограмм
BC || AD; ED - секущая, тогда
∠ADE=∠DEC=55°(внутренние накрест лежащие)
ΔECD - равнобедренный значит
∠DEC=∠EDC=55°
∠BED=180°-55°=125°(смежные)
∠DEC+∠EDC+∠C=180°(сумма всех углов треугольника)
55°+55°+∠C=180°, отсюда ∠C=70°
∠C=∠А=70°
∠А+∠B=180°(свойство параллелограмма)
70°+∠B=180°, значит ∠B=110°
∠B=∠D=110°
ответ: ∠DEC=∠EDC=55°;∠C=∠А=70°; ∠B=∠D=110°
3.
RM - биссектриса, значит
∠LRM=∠MRS=90°/2=45°
∠LMR=180°-(45°+90°)=45° (сумма всех углов треугольника)
ответ: ∠LRM=∠MRS=45°;∠LMR=45°;∠K=∠S=90°
Дано:
ABCD — прямоугольник,
AC ∩ BD=O,
∠AOD=φ.
Найти: ∠ACD.
Решение:
1) ∠DOC=180º-∠AOD=180º-φ (как смежные).
ugol mezhdu diagonalyami pryamougolnika raven
2) Треугольник COD — равнобедренный с основанием CD
(OC=OD по свойству диагоналей прямоугольника).
Тогда
\[\angle OCD = \frac180}^o} - \angle AOD}}{2} = \frac180}^o} - ({{180}^o} - \varphi )}}{2} = \]
\[ = \frac180}^o} - {{180}^o} + \varphi }}{2} = \frac{\varphi }{2}.\]
(как угол при основании равнобедренного треугольника).
\[\angle ACD = \angle OCD = \frac{\varphi }{2}.\]
ответ: φ/2.
ugol mezhdu diagonalyu i storonoy pryamougolnika
Около любого прямоугольника можно описать окружность. Центр описанной около прямоугольника окружности — точка пересечения его диагоналей.
∠ACD — вписанный угол, ∠AOD — соответствующий ему центральный угол. Следовательно,
∠ACD=½ ∠AOD=φ/2.
Задача 2. (обратная к задаче 1)
Угол между диагональю прямоугольника и его большей стороной равен α. Найти меньший угол между диагоналями прямоугольника.
ugol mezhdu diagonalyu i storonoy pryamougolnika
1) Треугольник COD — равнобедренный с основанием CD
(так как OC=OD по свойству диагоналей прямоугольника).
Угол при вершине равнобедренного треугольника
∠COD=180º-2∠OCD=180º-2α.
2) ∠AOD=180º-∠COD (как смежные),
∠AOD=180º-(180º-2α)=180º-180º+2α=2α.
ответ: 2α.
Вывод: острый угол между диагоналями прямоугольника в два раза больше угла между диагональю прямоугольника и его большей стороной.