У ромба все стороны равны, поэтому т.к. Р = 4а, где а - сторона ромба, то сторона ромба равна 40 : 4 =10 (см).
Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, значит, получаем 4 равных прямоугольных треугольника, у которых катеты - это половинки диагоналей, а гипотенуза - сторона ромба. Т.к. одна из диагоналей ромба равна 12 см, то ее половинка равна 6 см, тогда по теореме Пифагора второй катет (равен половине второй диагонали) равен: √(10² - 6²) = √(100 - 36) = √64 = 8 (см). Следовательно, вторая диагональ равна 2 · 8 = 16 (см) ответ: 16 см.
5. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы имеют разные градусные меры, то такие прямые пересекаются на плоскости.
ответ: а) пересекаются.
6. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Первый острый угол = 35°, следовательно, второй острый угол = 90°-35° = 55°.
ответ: б) 55°.
7. Если углы треугольника пропорциональны числам 1:1:1, то пусть каждый из этих углов этого треугольника равен х, х, х. Сумма углов треугольника равна 180°.
Составим уравнение и решим его -
х+х+х = 180°
3х = 180°
х = 60°
Каждый из углов треугольника равен по 60°. А если все углы треугольника равны по 60°, то такой треугольник является равносторонним (вид треугольника по сторонам). Равносторонний треугольник всегда является остроугольным, так как все углы острые (вид треугольника по углам).
ответ: а) остроугольный, б) равносторонний.
8. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Составляем неравенства и проверяем их на верность.
а) 4+5 > 6 - верное неравенство.
6+5 > 4 - верное неравенство.
4+6 > 5 - верное неравенство.
Такой треугольник существует.
б) 5+5 > 6 - верное неравенство.
5+6 > 5 - верное неравенство.
5+6 > 5 - верное неравенство.
Такой треугольник существует.
в) 4+8 > 3 - верное неравенство.
4+3 > 8 - неверное неравенство.
Такого треугольника не существует.
г) 12+21 > 15 - верное неравенство.
12+15 > 21 - верное неравенство.
15+21 > 12 - верное неравенство.
Такой треугольник существует.
ответ: в) 8; 4; 3.
9) Проанализируем каждое утверждение.
а) Верно, это аксиома планиметрии.
б) Неверно. Острый угол всегда меньше 90° (к тому же не может принимать значение в 0°).
в) Неверно. В сумме накрест лежащие углы, конечно же, могут давать 180°. Но это в том случае, когда секущая перпендикулярна параллельным прямым. А ведь секущая не всегда может их пересекать под прямым углом.
г) Неверно. Такие треугольники подобны. Чтобы доказать равенство таких треугольников нужна хотя бы ещё равная сторона.
ответ: а) Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.
Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, значит, получаем 4 равных прямоугольных треугольника, у которых катеты - это половинки диагоналей, а гипотенуза - сторона ромба.
Т.к. одна из диагоналей ромба равна 12 см, то ее половинка равна 6 см, тогда по теореме Пифагора второй катет (равен половине второй диагонали) равен: √(10² - 6²) = √(100 - 36) = √64 = 8 (см). Следовательно, вторая диагональ равна 2 · 8 = 16 (см)
ответ: 16 см.
Проанализируем каждое задание.
5. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы имеют разные градусные меры, то такие прямые пересекаются на плоскости.
ответ: а) пересекаются.6. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Первый острый угол = 35°, следовательно, второй острый угол = 90°-35° = 55°.
ответ: б) 55°.7. Если углы треугольника пропорциональны числам 1:1:1, то пусть каждый из этих углов этого треугольника равен х, х, х. Сумма углов треугольника равна 180°.
Составим уравнение и решим его -
х+х+х = 180°
3х = 180°
х = 60°
Каждый из углов треугольника равен по 60°. А если все углы треугольника равны по 60°, то такой треугольник является равносторонним (вид треугольника по сторонам). Равносторонний треугольник всегда является остроугольным, так как все углы острые (вид треугольника по углам).
ответ: а) остроугольный, б) равносторонний.8. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Составляем неравенства и проверяем их на верность.
а) 4+5 > 6 - верное неравенство.
6+5 > 4 - верное неравенство.
4+6 > 5 - верное неравенство.
Такой треугольник существует.
б) 5+5 > 6 - верное неравенство.
5+6 > 5 - верное неравенство.
5+6 > 5 - верное неравенство.
Такой треугольник существует.
в) 4+8 > 3 - верное неравенство.
4+3 > 8 - неверное неравенство.
Такого треугольника не существует.
г) 12+21 > 15 - верное неравенство.
12+15 > 21 - верное неравенство.
15+21 > 12 - верное неравенство.
Такой треугольник существует.
ответ: в) 8; 4; 3.9) Проанализируем каждое утверждение.
а) Верно, это аксиома планиметрии.
б) Неверно. Острый угол всегда меньше 90° (к тому же не может принимать значение в 0°).
в) Неверно. В сумме накрест лежащие углы, конечно же, могут давать 180°. Но это в том случае, когда секущая перпендикулярна параллельным прямым. А ведь секущая не всегда может их пересекать под прямым углом.
г) Неверно. Такие треугольники подобны. Чтобы доказать равенство таких треугольников нужна хотя бы ещё равная сторона.
ответ: а) Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.