Часть а

а1.  какое предложение содержит придаточное определительное?

1) начинало смеркаться, когда я пришёл к комендантскому дому.
2) она не разборчива, ибо с тех пор отвечает на его поклон улыбкой.
3) я собрал книги, которые отложил раньше, и подошел к библиотекарю.
4) он спросил, что мы будем делать летом.

а2.  какое предложение содержит местоименно-определительное придаточное?

1) куда мы направлялись, я не знал.
2) кто хочет, тот добьётся.
3) день пролетел так быстро, точно часы превратились в се­кунды.
4) яблоня, под кроной которой мы спрятались, уже отцвела.

а3.  укажите предложение с придаточным изъяснительным.

1) чтобы понять народ, надо вспомнить его .
2) я долго смотрел на степь, по которой неслась тройка.
3) он медленно шёл по широкой аллее, что вела от пло­щадки дома в дебри парка.
4) я сказал мальчикам, что заблудился, и подсел к ним.

а4.  в каком варианте ответа правильно указаны все цифры, на месте которых в предложении должны стоять запятые?

я по-прежнему такой же нежный (1) и мечтаю только лишь о том (2) чтоб (3) скорее от тоски мятежной (4) воро­титься в низенький наш дом.

1) 1, 2, 3
2) 1, 3
3) 2
4) 2, 4

a5.  в каком варианте ответа правильно указаны все цифры, на месте которых в предложении должны стоять запятые?

перед глазами (1) расстилалась широкая река (2) по обеим берегам (3) которой (4) выросли дома.

1) 1, 2, 3, 4
2) 2, 4
3) 1, 4
4) 2​

К сожалению, у меня сейчас нет возможности сделать качественный скан чертежа. Но там все видно.
1) Пусть точка A - произвольная точка окружности. AC и BD - две взаимно перпендикулярные хорды, пересекающиеся в заданной точке  P. Середины сторон E, F, G, H четырехугольника ABCD все принадлежат искомому множеству.
2) EFGH - прямоугольник, поскольку EF II AC; FG II BD; GH II AC; EH II BD; как средние линии соответствующих треугольников (к примеру, EF - средняя линия треугольника ABC). Поэтому EG = FH; и эти два отрезка делятся пополам в точке их пересечения.
3) Ясно, что (к примеру) OG перпендикулярно CD; поскольку G - середина хорды в окружности с центром O.
С другой стороны, в прямоугольном треугольнике APB PE - медиана, поэтому PE = AE; и следовательно, ∠BAP = ∠EPA;
Если продлить EP за точку P до пересечения с CD в точке K, то
∠CPK = ∠EPA = ∠BAP; кроме того, ∠ABD = ∠ACD;
таким образом, у треугольников ABP и CPK по два равных угла. Поэтому равны и углы ∠BPA = ∠CKP; то есть EP перпендикулярно CD; следовательно EP II OG; (вот для чего все городилось :))
Очевидно, что точно также можно показать, что OE II GP; (обе прямые перпендикулярны AB)
Поэтому OEPG - параллелограмм, и его диагонали EG и PO делятся точкой пересечения пополам.
4) Собирая всё, можно заключить, что независимо от положения точки A диагонали прямоугольника EFGH пересекаются в середине отрезка OP.
5) На этом "чисто геометрическая" часть заканчивается, и наступает короткое вычислительное заключение.
Ясно, что EF = AC/2; FG = BD/2; (если кто уже забыл, напомню - как средние линии).
С другой стороны, если соединить центр O с M - серединой AC и N - серединой BD, то получится прямоугольник OMPN; и
OM^2 + ON^2 = OP^2;
при этом
OM^2 = OA^2 - AM^2 = R^2 - EF^2; (AM = AC/2 = EF)
ON^2 = OD^2 - ND^2 = R^2 - FG^2;
если это сложить, получится
OP^2 = 2*R^2 - (EF^2 + FG^2);
или EG^2 = 2*R^2 - OP^2 = 2*R^2 - d^2; (d = OP)
то есть длина диагонали четырехугольника EFGH не зависит от положения точки A. Все середины хорд (вообще все, при любом положении точки A) равноудалены от точки Q - середины OP.
6) То есть искомое множество - окружность с центром в середине OP и ДИАМЕТРОМ D^2 = 2*R^2 - d^2;
7) Для проверки можно взять случай совпадения O и P, тогда все хорды - стороны вписанных квадратов, а нужное множество - вписанная в эти квадраты со стороной D = R√2; окружность, диаметр которой равен стороне квадрата.

РА - перпендикуляр к площади параллелограмма АВСД. Укажите вид параллелограмма, если РВ перпендикулярен ВС. а) ромб, б) прямоугольник; в) квадрат.

Объяснение: РВ - наклонная. АВ - её проекция на плоскость АВСД. По т. о 3-х перпендикулярах если наклонная (РВ) перпендикулярна прямой (ВС) на плоскости, то её проекция на ту же плоскость перпендикулярна данной прямой. Следовательно, АВ⊥ВС, и угол АВС - прямой. Противоположные углы параллелограмма равны. ⇒ ∠Д=∠В=90°, поэтому из суммы углов четырехугольника ∠А+∠С=360°-2•90°=180°, и каждый из них равен 180°:2=90°.

 Углы четырехугольника АВСД прямые. ⇒ АВСД - прямоугольник. Он может быть и квадратом. если его стороны будут равны.