Проведём медиану KN, которая делит сторону MP на 2 равные части (MK; KP).
Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу(ON), проведенному в точку касания, тоесть <MNP = 90°.
Проведём ещё одну медиану OK. Так как треугольник MKN — равнобёдренный(потому что MK & KN проведены через крайние точки диаметра, и имеют третью общую точку), то медиана OK — также является биссектрисой, и высотой, что и означает <MOK = 90°, и что MO == OK == ON.
MO == OK => <OMK == <OKM = 90/2 = 45°
<OMK = x = 45°.
24.
Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу(OA), проведенному в точку касания, тоесть <OAC = 90°.
Из условия задачи следует, что угол при основании треугольника АВС равен 30 град. Обозначим сторону равнобедренного треугольника через а, основание через b, радиус описанной окружности через R. Половина основания b/2=а*cos(30)=a*sqr(3)/2, b=a*sqr(3) Известно, что: R=a^2/sqr(4a^2-b^2) Подставив значение b, получим: R=a Отсюда: АВ=2 см Во второй задаче центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения биссектрис, поскольку радиусы опущенные из центра в точки М, Т и Р, образуют пары равных прямоугольных треугольников (ВОМ и ВОТ и т.д.). Четырехугольник РОТС является квадратом, так как радиусы проведены в точки касания и перпендикулярны катетам. По условия диагональ этого квадрата равна корень из 8, следовательно сторона будет в корень из двух раз меньше, отсюда: r=sqr(8/2)=2 Угол ТОР=90 град. Угол ТМР является вписанным, он измеряется половиной дуги, на которую опирается. Дуга составляет 90 градусов, так как ограничена точками Р и Т, а угол РСТ прямой. Следовательно угол ТМР=45 град.
18.
∪ ALB = 72° => <AOB = 72° =>
x = 90-<AOB = 18°.
20.
Проведём медиану KN, которая делит сторону MP на 2 равные части (MK; KP).
Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу(ON), проведенному в точку касания, тоесть <MNP = 90°.
Проведём ещё одну медиану OK. Так как треугольник MKN — равнобёдренный(потому что MK & KN проведены через крайние точки диаметра, и имеют третью общую точку), то медиана OK — также является биссектрисой, и высотой, что и означает <MOK = 90°, и что MO == OK == ON.
MO == OK => <OMK == <OKM = 90/2 = 45°
<OMK = x = 45°.
24.
Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу(OA), проведенному в точку касания, тоесть <OAC = 90°.
<OAC = 90° => <OAB = <OAC - <BAC => <OAB = 90-40 = 50°
OB == OA => <OAB == <OBA = 50°
<BOA = 180-(50+50) = 80°.
А в 22-ом я пока путаюсь, решу немного позже(сложновато для меня), прости.
Половина основания b/2=а*cos(30)=a*sqr(3)/2, b=a*sqr(3)
Известно, что:
R=a^2/sqr(4a^2-b^2)
Подставив значение b, получим: R=a
Отсюда: АВ=2 см
Во второй задаче центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения биссектрис, поскольку радиусы опущенные из центра в точки М, Т и Р, образуют пары равных прямоугольных треугольников (ВОМ и ВОТ и т.д.). Четырехугольник РОТС является квадратом, так как радиусы проведены в точки касания и перпендикулярны катетам. По условия диагональ этого квадрата равна корень из 8, следовательно сторона будет в корень из двух раз меньше, отсюда:
r=sqr(8/2)=2 Угол ТОР=90 град. Угол ТМР является вписанным, он измеряется половиной дуги, на которую опирается. Дуга составляет 90 градусов, так как ограничена точками Р и Т, а угол РСТ прямой. Следовательно угол ТМР=45 град.