CA 1. Даны точки А(-2; 3), В(1; -1), С(2; 4). Найдите: 1) координаты векторов AB и СА; 2) модули векторов AB и СА; 3) координаты вектора MN = 3 АВ - 2CA 4) косинус угла между векторами AB и решить

1. Рассмотрим треугольник АВА1. Он прямоугольный, т.к. АА1 - перпендикуляр. Угол АВА1 = 30 градусам. Катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы, значит, АВ = 2 * АА1.

2. Воспользуемся теоремой Пифагора.

АВ^2 = АА1^2 + А1В^2

(2АА1)^2 = АА1^2 + 225

4АА1^2 = АА1^2 + 225

3АА1^2 = 225

АА1^2 = 75

АА1 = 5 корней из 3.

АВ = 2 * АА1 = 10 корней из 3.

Можно решить вторым без теоремы Пифагора.

1. В прямоугольном треугольнике косинус угла равняется отношению прилежащего катета к гипотенузе.

cоs 30 = 15 / АВ

cos 30 = корень из 3 / 2

Получаем пропорцию, решаем:

АВ * корень из 3 = 30

АВ = 30 / корень из 3

АВ = 10 корней из 3

2. По той же теореме о катете, лежащем против угла в 30 градусов, вячисляем длину катета АА1:

АА1 = АВ / 2 = 5 корней из 3.

Данный многоугольник состоит из равнобедренных треугольников с основанием 24.

Радиус вписанной окружности - высота этого треугольника и равен по условию задачи 4.
Найдя боковую сторону такого  треугольника, найдем и радиус описанной около этого многоугольника окружности,т.к эта сторона и есть радиус описанной окружности.
Решение задачи сводится, в итоге, к нахождению стороны равнобедренного треугольника с основанием 24 и высотой 4.
Высота, половина основания и боковая сторона образуют прямоугольный треугольник.
Найдем боковую сторону по теореме Пифагора.
R²=r²+12²
R²=4²+12²=16+144=160
R=√160=4√10