C1. даны равносторонние треугольники авс и а1в1с1, о и о1 – соответственно точки пересечения медиан этих треугольников, оа = о1а1. докажите, что треугольники авс и а1в1с1 равны. 2. в тупоугольном равнобедренном треугольнике один из углов в четыре раза больше другого. медиана треугольника, проведенная к основанию, равна а. найдите боковую сторону. 4. точки в и d лежат по разные стороны от прямой ас. известно, что ав||dс, аd||вс. докажите, что ∠авс = ∠аdс, ав = dс, аd = вс. 5. в треугольнике авс внешние углы при вершинах а и в равны. докажите, что 2ас > ав. 6. в равнобедренном треугольнике авс угол в – тупой. высота вd равна 8 см. найдите периметр треугольника авс, если периметр треугольника авd равен 24 см. 7. угол аов равен 43°. внутри этого угла проведен луч ос. найдите угол между биссектрисами углов аос и вос. 8. в окружности с центром о проведены три радиуса: оа, ов, ос, так, что ов перпендикулярен ас и отрезки ов и ас пересекаются. докажите, что ав = вс. 9. дан треугольник авс. на продолжении сторон ав и вс за вершину в отмечены точки d и e соответственно; ∠dве = 60°, 3∠а = ∠с. найдите угол, смежный с углом а. 10. расстояние между центрами двух касающихся окружностей равно 18 см. найдите радиусы окружностей, если один из них в 4 раза меньше другого. 11. боковая сторона равнобедренного треугольника в 2 раза больше основания и на 12 см меньше периметра треугольника. найдите стороны треугольника. 13. в равнобедренном треугольнике авс вd – высота, проведенная к основанию. точки м и н принадлежат сторонам ав и вс соответственно. луч dв – биссектриса угла мdн. докажите, что ам = нс. 14. на сторонах ав, вс, ас треугольника авс взяты точки — м, р, к соответственно так, что лучи км и кр являются биссектрисами углов акв и вкс. докажите, что ∠мкр = 90о. 15. в треугольнике авс ∠а = 50о, ∠с = 80о. докажите, что биссектриса внешнего угла треугольника при вершине с лежит на прямой, параллельной прямой ав. 16. основание ас равнобедренного треугольника авс продолжено за вершины а и с. на продолжениях соответственно отложены равные отрезки аd и се. докажите, что вd = ев. 17. в треугольнике авс ∠b = 100o, ∠а = 40о. точка d принадлежит стороне ас. причем угол bdc – тупой. докажите, что ав > bd. 18. отрезки ае, ек, кв последовательно отложены на одной прямой, а точки с и d лежат по разные стороны от этой прямой, ае = вк, ас = bd, ск = dе. докажите что треугольники аск и веd равны. 19. даны треугольники авс и а1в1с1 с высотами сd и c1d1 соответственно, ∠b = ∠b1 = 45o, cd = c1d1, ав = а1в1. докажите, что треугольники авс и а1в1с1 равны.
основания:
а=22 см (R₁*2), b=32 см (R₂*2)
боковая сторона - образующая конуса l =13 см
найти высоту равнобедренной трапеции - расстояние от центра верхнего основания до центра нижнего основания усеченного конуса
перпендикуляры от верхнего основания до нижнего(из тупых углов) отсекают от равнобедренной трапеции 2 равных прямоугольных треугольника с гипотенузой(образующая конуса) 13 см и катетом 5 см ((32-22)/2=10/2=5 см). найти катет -H высоту усеченного конуса.
по теореме Пифагора: 13²=5²+H². H²=169-25. H=12 cм
ответ: расстояние между центрами оснований усеченного конуса 12 см
ВК=2, АК=8, тогда, АВ=10.
Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис треугольника, проведём биссектрису ВН: точка Н совпадёт с точкой касания окружности на стороне АС, т.к. в биссектриса, проведённая из угла В, является и высотой, и медианой, т.е. угол АНС = 90 градусов.
АН=АК, т.к. отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны, т.е. АН=8, тогда АС=16.
В прямоугольном треугольнике АВН АВ=10, АН=8, тогда по теореме Пифагора ВН=6.
Найдём площадь треугольника: 1/2 * АС * ВН = 1/2 * 16 * 6 = 42.