Дано:
В ∆АВС вписана окружность,
F, E, D – точки касания,
∠А=∠С,
OD – радиус вписанной окружности,
ОD=24
BE=9x,
EC=8x.
Так как ∠ВАС=∠ВСА, то ∆АВС – равнобедренный с основанием АС. Значит ВА=ВС.
ВС=ВЕ+ЕС=9х+8х=17х, тогда ВА=17х также.
Отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны. Следовательно:
BF=BE=9x, CD=CE=8x.
AF=BA–BF=17x–9x=8x
АС=AD+CD=8x+8x=16x.
Радиус вписанной в треугольник окружности можно найти по формуле:
где р – полупериметр треугольника.
Радиус OD вписанной окружности известен из условия. Подставим все известные значения в формулу:
Площадь треугольника равна произведению радиуса вписанной окружности и полупериметра треугольника.
p=25x=5*25=125.
OD=24 по условию
S=OD*p=24*125=3000.
ответ: 3000
a) K, L, M ∈ α; α║(SBC)
KL║BS; KM║BC; ML║CS как линии пересечения двух параллельных плоскостей с одной общей.
SH⊥(ABC); AT⊥BC; H∈AT как центр правильного треугольника лежащий на медиане. AH:HT=2:1 по свойству пересечения медиан.
LU⊥KM ⇒ KU=UM ⇒ U∈AT ⇒ LU⊂(AST) ⇒ LU∩SH
Рассмотрим плоскость AST.
LU║ST как линии пересечения двух параллельных плоскостей с (AST).
AK:KB=AL:LS=5:1 по теореме о пропорциональных отрезках.
AU:UT=AL:LS по теореме о пропорциональных отрезках.
Как уже известно AH:HT=2:1. Пусть AU=5x; UT=x ⇒AT=6x ⇒ AH=4x; HT=2x ⇒ HU=2x-x=x.
ΔSHT~ΔRHU по 3 углам (1 общий остальные равны как соответственных угла при параллельных прямых).
Значит SH:RH=HT:HU=2:1. Пусть SH=2y; RH=y ⇒ SR=2y-y=y ⇒ SR=y=RH
То есть плоскость делит высоту пополам.
б) AT=AB*sin 60°=(15+3)*√3/2=9√3.
ΔAST~ΔALU по 3 углам (1 общий остальные равны как соответственных угла при параллельных прямых).
Значит AL:AS=LU:ST=6:5.
HT=1/3 *9√3=3√3 т.к. AH:HT=2:1
SH=13 ⇒ ST=√(169+27)=14 ⇒ LU=5/6 *14=35/3.
ΔAKM~ΔABC по 3 углам (1 общий остальные равны как соответственных угла при параллельных прямых).
Значит KM:BC=AK:AB=5:6 ⇒ KM=5/6 *18=15.
Как было указано в начале LU⊥KM ⇒ S=1/2* 15*35/3=175/2=87,5
ответ: 87,5.
Дано:
В ∆АВС вписана окружность,
F, E, D – точки касания,
∠А=∠С,
OD – радиус вписанной окружности,
ОD=24
BE=9x,
EC=8x.
Так как ∠ВАС=∠ВСА, то ∆АВС – равнобедренный с основанием АС. Значит ВА=ВС.
ВС=ВЕ+ЕС=9х+8х=17х, тогда ВА=17х также.
Отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны. Следовательно:
BF=BE=9x, CD=CE=8x.
AF=BA–BF=17x–9x=8x
АС=AD+CD=8x+8x=16x.
Радиус вписанной в треугольник окружности можно найти по формуле:
где р – полупериметр треугольника.
Радиус OD вписанной окружности известен из условия. Подставим все известные значения в формулу:
Площадь треугольника равна произведению радиуса вписанной окружности и полупериметра треугольника.
p=25x=5*25=125.
OD=24 по условию
S=OD*p=24*125=3000.
ответ: 3000
a) K, L, M ∈ α; α║(SBC)
KL║BS; KM║BC; ML║CS как линии пересечения двух параллельных плоскостей с одной общей.
SH⊥(ABC); AT⊥BC; H∈AT как центр правильного треугольника лежащий на медиане. AH:HT=2:1 по свойству пересечения медиан.
LU⊥KM ⇒ KU=UM ⇒ U∈AT ⇒ LU⊂(AST) ⇒ LU∩SH
Рассмотрим плоскость AST.
LU║ST как линии пересечения двух параллельных плоскостей с (AST).
AK:KB=AL:LS=5:1 по теореме о пропорциональных отрезках.
AU:UT=AL:LS по теореме о пропорциональных отрезках.
Как уже известно AH:HT=2:1. Пусть AU=5x; UT=x ⇒AT=6x ⇒ AH=4x; HT=2x ⇒ HU=2x-x=x.
ΔSHT~ΔRHU по 3 углам (1 общий остальные равны как соответственных угла при параллельных прямых).
Значит SH:RH=HT:HU=2:1. Пусть SH=2y; RH=y ⇒ SR=2y-y=y ⇒ SR=y=RH
То есть плоскость делит высоту пополам.
б) AT=AB*sin 60°=(15+3)*√3/2=9√3.
ΔAST~ΔALU по 3 углам (1 общий остальные равны как соответственных угла при параллельных прямых).
Значит AL:AS=LU:ST=6:5.
HT=1/3 *9√3=3√3 т.к. AH:HT=2:1
SH=13 ⇒ ST=√(169+27)=14 ⇒ LU=5/6 *14=35/3.
ΔAKM~ΔABC по 3 углам (1 общий остальные равны как соответственных угла при параллельных прямых).
Значит KM:BC=AK:AB=5:6 ⇒ KM=5/6 *18=15.
Как было указано в начале LU⊥KM ⇒ S=1/2* 15*35/3=175/2=87,5
ответ: 87,5.