Большая сторона параллелограмма равна 2v13, а отношение углов, прилежащих к
одной стороне, равна 5. меньшая диагональ параллелограмма перпендикулярна меньшей стороне. вычислите меньшую сторону, обе диагонали и сторону равностороннего треугольника, равновеликого данному параллелограмму.

АВС - равносторонний треугольник
расстояние от S до стороны АС это кратчайшее расстояние и точка О будет ближайшей к точке В, ВО является высотой, так как только эта прямая является кротчайшей в треугольнике от угла к противоположной стороне.
треугольник равносторонний, следовательно ВО является еще и медианой (свойство равностороннего треугольника) и делит сторону АС пополам
треугольник ВОС прямоугольный. ОС=2, ВС=4, найдем ВО по теореме Пифагора
ВО=√(16-4)=√12
треугольник SВО прямоугольный, так как SВ перпендикуляр. По теореме Пифагора найдем SO
SО=√((√12)²+2²)=√(12+4)=√16=4

ответ SО=4см

Высота BH по совместительству биссектриса⇒ O -точка пересечения биссектрис. Как известно (это можно вывести, например, из теоремы Ван-Обеля), биссектриса в точке пересечения делится другими биссектрисами в отношении "сумма прилежащих сторон делить на противолежащую". Если боковые стороны обозначить через a, основание через b, условие OB:OH приводит к 2a:b=3:1, то есть a:b=3:2. Поскольку наш треугольник интересует нас с точностью до подобия, можно считать, что b=2; a=3.
Найдем косинусы углов нашего треугольника:
 cos A=cos C=AH/AB=1/3; cos C=cos (180-2C)= - cos 2C=-(2cos^2 C-1)=
-(2/9-1)=7/9.

Из той же теоремы Ван-Обеля следует, что высота делится точкой пересечения высот в отношении "косинус угла, из которого опущена высота, делить на произведение косинусов двух других углов".

В нашем случае получается (7/9)/((1/3)(1/3))=7

ответ: 7:1

прощения, если не все приведенные факты Вам известны.
Если они Вас заинтересуют, оформляйте их в виде задач, и я с удовольствием их докажу.