Проведем отрезок BM, соединяющий вершину треугольника с точкой пересечения биссектрис. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, тогда отрезок BM является частью биссектрисы ∠B в ∆ABC, значит, ∠ABM = ∠CBM.
Так как AM – биссектриса ∠A, то ∠BAM = ∠MAC, тогда находим ∠A.
∠A = ∠BAM + ∠MAC = 30° + 30° = 60°.
Аналогично, так как CM – биссектриса ∠C, то ∠BCM = ∠ACM, тогда находим ∠С.
В этом тригонометрическом нагромождении мы видим 10 прямоугольных треугольников. Для нахождения гипотенузы верхнего фиолетового прямоугольного треугольника, необходимо, идя снизу, применять формулу соотношения катета и гипотенузы (гипотенуза равна катету, делённому на синус противолежащего или косинус прилежащего к этому катету угла - или: катет прямоугольного треугольника равен его гипотенузе, умноженной на синус противолежащего или на косинус прилежащего к этому катету угла), а также в паре случаев теорему Пифагора (сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы).
Значения косинусов берём из таблицы Брадиса.
1) Находим гипотенузу нижнего (зелёного) треугольника. Нужно длину катета (8 см) разделить на cos 28° (0,8829). Она равна ≈ 9,06 (округляем до двух цифр после запятой, так как вверху два значения даны с двумя цифрами после запятой)
2) 9,06 + 3,6 - 2,5 = 10,16 см - это длина гипотенузы второго снизу (бледно-жёлтого) треугольника. Нам нужно найти верхний его катет. Он равен гипотенузе, умноженной на косинус прилежащего к этому катету угла.
10,16* cos 11° = 10,16* 0,9816 ≈ 9,97 см
3) 9,97 + 2,9 - 2 = 10,87 см - это длина гипотенузы третьего снизу треугольника. По теореме Пифагора находим верхний катет.
10,87^2 - 3,8^2 = 118,1569 - 14,44 = 103,7169
√103,7169 ≈ 10,18 см
4) 10,18 + 3,2 - 1 = 12,38 см это длина гипотенузы четвёртого снизу (голубого) треугольника. Находим нужный нам бо́льший катет. Он равен гипотенузе, умноженной на косинус прилежащего к этому катету угла. 12,38*cos 43° = 12,38*0,7314 ≈ 9,05 см
6) 10,45 + 3,2 + 1,9 = 15,55 см - это длина гипотенузы шестого снизу (светло-зелёного) треугольника. Находим нужный нам бо́льший катет. Он равен гипотенузе, умноженной на косинус прилежащего к этому катету угла. 15,55*cos 19° = 15,55*0,9455 ≈ 14,70 см
7) 14,70 - 4,4 - 1,1 = 8,8 см - это длина нижнего катета седьмого снизу (жёлтого) треугольника. Находим гипотенузу жёлтого треугольника.
Она равна катету, делённому на косинус прилежащего к этому катету угла. 8,8:cos 46° = 8,8:0,6947 ≈ 12,67 см
8) 12,67 + 1,7 = 14,37 см - это длина бо́льшего катета восьмого снизу/третьего сверху (светло-фиолетового) треугольника. По теореме Пифагора находим гипотенузу этого треугольника.
3,2^2 + 14,37^2 = 10,24 + 206,44969 = 216,7369
√216,7369 ≈ 14,72 см
9) 14,72 - 2,73 = 11,99 см - это длина гипотенузы второго сверху (светлого) треугольника. Находим его бо́льший катет. Он равен гипотенузе, умноженной на косинус прилежащего к этому катету угла.
11,99*cos 22° = 11,99*0,9272 ≈ 11,12 см
10) 11,12 см +6,9 - 2,24 = 15,78 см - это длина бо́льшего катета самого верхнего (фиолетового) треугольника.
Находим гипотенузы верхнего фиолетового прямоугольного треугольника. Она равна катету, делённому на косинус прилежащего к этому катету угла. 15,78:cos 4° = 15,78:0,9976 ≈ 15,82 см
Проведем отрезок BM, соединяющий вершину треугольника с точкой пересечения биссектрис. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, тогда отрезок BM является частью биссектрисы ∠B в ∆ABC, значит, ∠ABM = ∠CBM.
Так как AM – биссектриса ∠A, то ∠BAM = ∠MAC, тогда находим ∠A.
∠A = ∠BAM + ∠MAC = 30° + 30° = 60°.
Аналогично, так как CM – биссектриса ∠C, то ∠BCM = ∠ACM, тогда находим ∠С.
∠С = ∠BCM + ∠ACM = 20° + 20° = 40°.
По теореме о сумме углов треугольника в ∆ABC:
∠A + ∠С + ∠B = 180°, следовательно ∠B = 180° – (∠A + ∠С) = 180° – (60° + 40°) = 180° – 100° = 80°.
Тогда находим ∠ABM.
∠ABM = 80° : 2 = 40°.
ответ: ∠ABM = 40°.
15,82 см
Объяснение:
В этом тригонометрическом нагромождении мы видим 10 прямоугольных треугольников. Для нахождения гипотенузы верхнего фиолетового прямоугольного треугольника, необходимо, идя снизу, применять формулу соотношения катета и гипотенузы (гипотенуза равна катету, делённому на синус противолежащего или косинус прилежащего к этому катету угла - или: катет прямоугольного треугольника равен его гипотенузе, умноженной на синус противолежащего или на косинус прилежащего к этому катету угла), а также в паре случаев теорему Пифагора (сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы).
Значения косинусов берём из таблицы Брадиса.
1) Находим гипотенузу нижнего (зелёного) треугольника. Нужно длину катета (8 см) разделить на cos 28° (0,8829). Она равна ≈ 9,06 (округляем до двух цифр после запятой, так как вверху два значения даны с двумя цифрами после запятой)
2) 9,06 + 3,6 - 2,5 = 10,16 см - это длина гипотенузы второго снизу (бледно-жёлтого) треугольника. Нам нужно найти верхний его катет. Он равен гипотенузе, умноженной на косинус прилежащего к этому катету угла.
10,16* cos 11° = 10,16* 0,9816 ≈ 9,97 см
3) 9,97 + 2,9 - 2 = 10,87 см - это длина гипотенузы третьего снизу треугольника. По теореме Пифагора находим верхний катет.
10,87^2 - 3,8^2 = 118,1569 - 14,44 = 103,7169
√103,7169 ≈ 10,18 см
4) 10,18 + 3,2 - 1 = 12,38 см это длина гипотенузы четвёртого снизу (голубого) треугольника. Находим нужный нам бо́льший катет. Он равен гипотенузе, умноженной на косинус прилежащего к этому катету угла. 12,38*cos 43° = 12,38*0,7314 ≈ 9,05 см
5) Больший катет пятого снизу (розового) треугольника равен бо́льшему катету голубого треугольника. (9,05 +1-1 = 9,05 см). Находим гипотенузу розового треугольника. 9,05:cos 30° = 9,05:0,8660 ≈ 10,45 см.
6) 10,45 + 3,2 + 1,9 = 15,55 см - это длина гипотенузы шестого снизу (светло-зелёного) треугольника. Находим нужный нам бо́льший катет. Он равен гипотенузе, умноженной на косинус прилежащего к этому катету угла. 15,55*cos 19° = 15,55*0,9455 ≈ 14,70 см
7) 14,70 - 4,4 - 1,1 = 8,8 см - это длина нижнего катета седьмого снизу (жёлтого) треугольника. Находим гипотенузу жёлтого треугольника.
Она равна катету, делённому на косинус прилежащего к этому катету угла. 8,8:cos 46° = 8,8:0,6947 ≈ 12,67 см
8) 12,67 + 1,7 = 14,37 см - это длина бо́льшего катета восьмого снизу/третьего сверху (светло-фиолетового) треугольника. По теореме Пифагора находим гипотенузу этого треугольника.
3,2^2 + 14,37^2 = 10,24 + 206,44969 = 216,7369
√216,7369 ≈ 14,72 см
9) 14,72 - 2,73 = 11,99 см - это длина гипотенузы второго сверху (светлого) треугольника. Находим его бо́льший катет. Он равен гипотенузе, умноженной на косинус прилежащего к этому катету угла.
11,99*cos 22° = 11,99*0,9272 ≈ 11,12 см
10) 11,12 см +6,9 - 2,24 = 15,78 см - это длина бо́льшего катета самого верхнего (фиолетового) треугольника.
Находим гипотенузы верхнего фиолетового прямоугольного треугольника. Она равна катету, делённому на косинус прилежащего к этому катету угла. 15,78:cos 4° = 15,78:0,9976 ≈ 15,82 см