Билет № 1 1.что такое аксиома? сформулируйте аксиомы . 2. сформулируйте и докажите теорему о смежных углах. 3. из огэ. билет № 2 1. что такое теорема? 2. сформулируйте и докажите теорему о вертикальных углах. 3. из огэ. билет № 3 1. что такое определение? 2. сформулируйте и докажите первый признак равенства треугольников. 3. из огэ. билет № 4 1. что такое следствие? 2. сформулируйте и докажите второй признак равенства треугольников. 3. из огэ. билет № 5 1. дайте определение стереометрии. примеры фигур в пространстве. 2. сформулируйте и докажите третий признак равенства треугольников. 3. из огэ. билет № 6 1. дайте определение планиметрии. пример фигур на плоскости. 2. сформулируйте теорему о внешнем угле треугольника и докажите. 3. из огэ. билет № 7 1. дайте определение параллельных прямых. 2. сформулируйте и докажите первое свойство равнобедренного треугольника. 3. из огэ. билет № 8 1. дайте определение перпендикулярных прямых. 2. сформулируйте и докажите второе свойство равнобедренного треугольника. 3. из огэ. билет № 9 1. дайте определение медианы, биссектрисы, высоты. 2. сформулируйте признаки равенства прямоугольных треугольников. 3. из огэ. билет № 10 1. дайте определение равностороннего треугольника. 2. с циркуля постройте угол равный данному. 3. из огэ. билет № 11 1. дайте определение прямоугольного, тупоугольного, остроугольного треугольника. 2. докажите, что гипотенуза больше катета. 3. из огэ. билет № 12 1. дайте определения отрезка. 2. сформулируйте и докажите первое свойство прямоугольного треугольника. 3. из огэ. билет № 13 1. дайте определения луча. 2. сформулируйте и докажите второе свойство прямоугольного треугольника. 3. из огэ. билет № 15 1. дайте определение перпендикуляра и наклонной. 2. с циркуля постройте биссектрису угла. 3. из огэ. билет № 16 1. что такое окружность? радиус, хорда, диаметр, дуга окружности? 2. с циркуля постройте треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам. 3. из огэ. билет № 17 1. что такое расстояние от точки до прямой? 2. сформулируйте три признака параллельности прямых. 3. из огэ. билет № 18 1. что такое расстояние между параллельными прямыми? 2. сформулируйте свойства параллельных прямых. 3. из огэ. билет № 19 1. в каком случае треугольник существует? 2. сформулируйте и докажите теорему о сумме углов треугольника. 3. из огэ. билет № 20 1. что такое треугольник? дайте определение равных треугольников. 2. сформулируйте теорему о соотношении углов и сторон треугольника. 3. из огэ. билет № 21 1.что такое обратная теорема? 2. может ли быть в треугольнике два тупых угла? ответ обоснуйте. 3. из огэ. билет № 22 1. дайте определение секущей. 2. с циркуля постройте треугольник по трем сторонам. 3. из огэ.
Даны вершины треугольника A(−2,1), B(3,3), С(1,0). Найти:
а) длина стороны AB = √((3-(-2))² + (3-1)² = √(25 + 4) = √29.
б) уравнение медианы BM.
Находим координаты точки М как середины стороны АС.
М(((-2+1)/2; (1+3)/2) = (-0,5; 2).
Вектор ВМ = ((-0,5-3); (2-3)) = (-3,5; -1).
Уравнение ВМ: (х – 3)/(-3,5) = (у – 3)/(-1). Это в каноническом виде.
Оно же в общем виде 7у – 2х – 15 = 0.
И в виде уравнения с угловым коэффициентом у = (2/7)х + (15/7).
в) cos угла BCA.
Вектор СВ = ((1-3); (0-3)) = (-2; -3). Модуль равен √(4 + 9) = √13.
Вектор СА = ((1-(-2)); (0-1)) = (3; -1). Модуль равен √(9 + 1) = √10.
cos(BCA) = (-2*3 + (-3)*(-1))/( √13*√10) = -3/√130 ≈ -0,26312.
г) уравнение высоты CD.
Находим уравнение стороны АВ.
Вектор AB = ((3-(-2)); (3-1)) = (5; 2).
Уравнение АВ: (х + 2)/5 = (у -1)/2 или у = (2/5)х + (9/5).
Угловой коэффициент перпендикуляра к АВ (это высота СD) равен -1/(2/5) = -5/2. Подставим координаты точки С.
0 = (-5/2)*1 + b. Отсюда b = 5/2.
Уравнение CD: y = (-5/2)x + (5/2).
д) длина высоты СD.
Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My) до прямой Ax + By + C = 0 используем формулу:
d = (A·Mx + B·My + C)/√A2 + B2
Подставим в формулу данные: координаты точки С(1; 0) и уравнение прямой АВ:
2х – 5у + 9 = 0.
d = (2·1 + (-5)·0 + 9)/√22 + (-5)2 = (2 + 0 + 9)/√4 + 25 =
= 11/√29 = 11√29/29 ≈ 2.0426487.
е) площадь треугольника АВС по векторам.
Если вершины треугольника заданы, как точки в прямоугольной декартовой системе координат: A1(x1,y1), A2(x2,y2), A3(x3,y3), то площадь такого треугольника можно вычислить по формуле определителя второго порядка:
S= ± (1 /2) *(x1−x3 y1−y3 )
(x2−x3 y2−y3 )
x1−x3 y1−y3
x2−x3 y2−y3
A(−2,1), B(3,3), С(1,0).
S = (1/2)}|((-2-1)*(3-0) – (1-0)*3-1))| = (1/2)*|(-9-2)| = 11/2 = 5,5 кв.ед.
В своем письме С. Маршак размышляет о том, что грамматику изучать необходимо и полезно. Этот текст можно назвать рассуждением. Автор раскрывает тезис: «Грамматику изучать необходимо и полезно». Он приводит следующие аргументы: «Тот, кто не изучал грамматики, не знает законов языка. Он говорит более или менее правильно. Но такого человека легко сбить с толку. Он может незаметно для самого себя испортить свой язык, усвоить неправильные обороты речи. Ведь он не изучал правил русского языка и не знает, что правильно и что неправильно». Последний абзац в тексте является выводом. Убедительное доказательство содержится в предпоследнем абзаце: «Склонять, спрягать, соединять отдельные слова в предложения такой человек научился бессознательно, как научился ходить. Этого знания языка ему хватает для выражения самых простых мыслей. Но когда ему понадобится выразить мысль сложную, требующую пояснений и дополнений, − вот тогда ему трудно придётся, если он не знает законов языка».