Основанием правильной пирамиды служит равносторонний треугольник со стороной 4 см. Каждое боковое ребро пирамиды составляет с плоскостью основания угол 45º.
Найти площадь полной поверхности пирамиды.
Объяснение:
1)S(полн.пир)=S(осн)+S(бок)
S(осн)=S( прав.тр)=(а²√3)/4 , где а-сторона основания,
S(бок)=1/2 Р(осн)*d , где d-апофема.
2) Высота пирамиды МО , в правильной пирамиде, проецируется в центр основания, точку пересечения медиан . Пусть ВН⊥АС.
В ΔАВС: a₃=R√3 , 4=R√3 , R=4/√3 (см) ⇒ r=ОН=2/√3 (см) по т. о точке пересечения медиан.
Т.к по условию ∠МВО=45°, то ΔМВО-прямоугольный , равнобедренный. Значит ВО=МО=4/√3 см.
ΔМОН-прямоугольный, по т. Пифагора МН=√( ОН²+ОМ²),
МН=√( (2/√3)²+(4/√3)²)=2√(5/3) (см) ⇒ d=2√(5/3) см.
1. Найти косинус наименьшего угла треугольника. Это угол С.
Напротив наименьшей стороны лежит наименьший угол. Значит, напротив угла С лежит сторона АВ=4.
Теорема косинусов гласит: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
Для треугольника АВС:
АВ²= ВС²+АС²–2×ВС×АС×cos∠C;
4²= 5²+7²–2×5×7×cos∠C;
16= 25+49–70cos∠C;
70cos∠C= 25+49–16;
70cos∠C= 58;
cos∠C= 58/70, это приблизительно, если округлить до тысячных равно 0,829.
Записываем в ответ:
cos∠C= 0,829.
2. Если воспользоваться калькулятором и посчитать значение угла С, а потом округлить его до целых, то выйдет ∠С=34°.
Основанием правильной пирамиды служит равносторонний треугольник со стороной 4 см. Каждое боковое ребро пирамиды составляет с плоскостью основания угол 45º.
Найти площадь полной поверхности пирамиды.
Объяснение:
1)S(полн.пир)=S(осн)+S(бок)
S(осн)=S( прав.тр)=(а²√3)/4 , где а-сторона основания,
S(бок)=1/2 Р(осн)*d , где d-апофема.
2) Высота пирамиды МО , в правильной пирамиде, проецируется в центр основания, точку пересечения медиан . Пусть ВН⊥АС.
В ΔАВС: a₃=R√3 , 4=R√3 , R=4/√3 (см) ⇒ r=ОН=2/√3 (см) по т. о точке пересечения медиан.
Т.к по условию ∠МВО=45°, то ΔМВО-прямоугольный , равнобедренный. Значит ВО=МО=4/√3 см.
ΔМОН-прямоугольный, по т. Пифагора МН=√( ОН²+ОМ²),
МН=√( (2/√3)²+(4/√3)²)=2√(5/3) (см) ⇒ d=2√(5/3) см.
3) S(бок)=1/2*2√(5/3) *12= 12√(5/3) (см²) .
S(осн)=(4²√3)/4=4√3 ( см²)
S(полн.пир)=4√3 +12√(5/3)=4√3 +4√15 (см²)
Решение.
1. Найти косинус наименьшего угла треугольника. Это угол С.
Напротив наименьшей стороны лежит наименьший угол. Значит, напротив угла С лежит сторона АВ=4.
Теорема косинусов гласит: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
Для треугольника АВС:
АВ²= ВС²+АС²–2×ВС×АС×cos∠C;
4²= 5²+7²–2×5×7×cos∠C;
16= 25+49–70cos∠C;
70cos∠C= 25+49–16;
70cos∠C= 58;
cos∠C= 58/70, это приблизительно, если округлить до тысячных равно 0,829.
Записываем в ответ:
cos∠C= 0,829.
2. Если воспользоваться калькулятором и посчитать значение угла С, а потом округлить его до целых, то выйдет ∠С=34°.