Условие задачи дано с ошибкой: если в основании прямоугольного параллелепипеда квадрат, то диагональ основания составляет с боковой гранью угол 45°, а не 30°. Кроме того, по этим данным невозможно найти высоту прямоугольного параллелепипеда.
Задача встречается в таком виде: Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат. Диагональ параллелепипеда равна 12, она составляет угол 30° с плоскостью боковой грани. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда.
DB₁ - диагональ прямоугольного параллелепипеда. Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. В₁С₁⊥(DD₁C₁), значит DC₁ - проекция диагонали DB₁ на плоскость (DD₁C₁), а ∠B₁DC₁ = 30°.
построем рисунок, в треугольнике ВСD: ВС=СD (т.к. шестиугольник правильный), угол равен 120 градусов, (по формуле для нахлждения угла в правильном многоугольнике а=180(n-2)/n), проведһм перпендикуляр СН, угол ВHC = (180-120)/2=30 (т.к. треугольник равнобедренный, углы при основании равны) следовательно, СН=0,5ВС = корень из 48 по полам=корень из двенадцати (после преобразования)
теперь ВН = (по теореме пифагора) корень из (48-12) = корень из 36 = 6
ВН равно HD (т.к. в равнобедренном треугольнике высота равна медиане) следовательно ВD=2BH = 6*2 = 12
Задача встречается в таком виде:
Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат. Диагональ параллелепипеда равна 12, она составляет угол 30° с плоскостью боковой грани. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда.
DB₁ - диагональ прямоугольного параллелепипеда.
Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.
В₁С₁⊥(DD₁C₁), значит DC₁ - проекция диагонали DB₁ на плоскость (DD₁C₁), а ∠B₁DC₁ = 30°.
ΔB₁C₁D: ∠C₁ = 90°,
B₁C₁ = DB₁ · sin30° = 12 · 1/2 = 6 - ребро основания
DC₁ = DB₁ · cos 30° = 12 · √3/2 = 6√3
ΔDCC₁: ∠C = 90°, по теореме Пифагора
СС₁ = √(DС₁² - DC²) = √(108 - 36) = √72 = 6√2 - высота параллелепипеда
V = Sосн·H = 6² · 6√2 = 216√2
построем рисунок, в треугольнике ВСD: ВС=СD (т.к. шестиугольник правильный), угол равен 120 градусов, (по формуле для нахлждения угла в правильном многоугольнике а=180(n-2)/n), проведһм перпендикуляр СН, угол ВHC = (180-120)/2=30 (т.к. треугольник равнобедренный, углы при основании равны) следовательно, СН=0,5ВС = корень из 48 по полам=корень из двенадцати (после преобразования)
теперь ВН = (по теореме пифагора) корень из (48-12) = корень из 36 = 6
ВН равно HD (т.к. в равнобедренном треугольнике высота равна медиане) следовательно ВD=2BH = 6*2 = 12
Как то так!