АВ — діаметр кола, К — деяка точка кола. Знайдіть найменший кут трикутника АВК, якщо він у 8 разів менший від середнього за величиною кута.

В прямоугольном треугольнике АКС угол К равен 60° (дано).  =>

∠САК = 30°, значит АК - биссектриса угла А.

Биссектриса делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон (свойство).  Тогда СК/КВ = АС/АВ.

Но АВ = 2·АС (так как катет АС лежит против угла В, равного 30°). =>

СК/КВ = АС/(2АС) = 1/2.  =>

СК  = КВ/2 = 12/2 = 6 см.

Или так:

∠АКС = 60° (дано) => ∠САК = 30° (по сумме острых углов прямоугольного треугольника САК). => ∠ВАК = 30°.  =>

Треугольник АКВ равнобедренный, так как ∠В = 30° (по сумме острых углов прямоугольного треугольника АВС). и ∠ВАК = 30° (доказано выше).  =>

АК = ВК = 12 см.

В прямоугольном треугольнике АКС угол КАС = 30°, значит

СК = АК/2 = 12/2 = 6см.

Или так:

Пусть СК = х.  =>  ВС = 12+х.

В прямоугольном треугольнике АВС угол В равен 30° по сумме острых углов.

Tg(∠B) = tg30 = AC/BC = √3/3.  =>  

AC =  √3·(12+х)/3.  (1)

В прямоугольном треугольнике АКС угол К равен 60° (дано).

Tg(∠К) = tg60 = AC/CК = √3.  =>  

AC =  х√3.  (2).

Приравняем (1) и (2):  √3·(12+х)/3 = х√3.  => 12+х =  3х.  =>

СК = х = 6 см.

А) пусть, угол м х градусов, тогда угол р 3х, а угол т (зх-30). Сумма углов треугольника МРТ равна (х+3х+3х-30), а по условии теоремы, сумма углов треугольника равна 180 градусам. составим и решим уравнение.
х+3х+3х-30=180
7х-30=180
7х=180+30
7х=210
х=30
итак, 30 градусов- угол м, тогда 3*30=90 градусов угол Р, а угол Т 90-30=60 градусов.
б) так как напротив стороны мт лежит угол Р, а он является большим, тозначит сторона мт большая сторона. так как против большего угла лежит большая сторона. 
напротив угла мр лежит угол т, он самый маленький угол, а значит сторона мр самая маленькая сторона, так как против меньшей стороны лежит меньший угол.