Апофема правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равна 8, радиус описанной около основания окружности равен 3. Найдите косинус двугранного угла при основании пирамиды.

1. 4) такого тр-ка не существует, потому-что 5+9<15, а с таким отношением тр-ник построить нельзя.
2. Пусть боковые стороны будут a=х и b=х-3.
Так как высота делит тр-ник на два прямоугольных тр-ка и она для них общая, то по т. Пифагора можно записать ур-ние:
х²-10²=(х-3)²-5²,
х²-100=х²-6х+9-25,
х=14,
а=14 см, b=14-3=11 см, c=5+10=15 cм.
Р=14+11+15=40 см.
ответ: б) 40 см.
3. АВСД - ромб, ∠А=60°, АВ=АД, значит АВД - правильный тр-ник. В нём АО - высота. АО=АВ√3/2, АС=2АО=АВ√3 ⇒ АВ=АС/√3.
АВ=4√3/√3=4 см.
Периметр ромба: Р=4АВ=16 см.
ответ: а) 16 см.

Продолжим  боковые стороны до точки пересечения T. (Выходит что BC средняя линия треугольника ATD)
Проведем FO||AT ,OL||TD.  Откуда  подобны  треугольники:
ATD и FOL,AMD и FOD,AND и AOL.
Откуда верны отношения:
FO/4y=LO/6z=FL/AD    
FO/y=(FL+LD)/AD=OD/MD;  FO/4y=(FL+LD)/4AD
LO/2z=(FL+AF)/AD ; LO/6z=(FL+AF)/3AD
(FL+LD)/4AD=FL/AD
FL+LD=4FL
LD=3FL
(FL+AF)/3AD=FL/AD
FL+AF=3FL
AF=2FL
OD/MD=(FL+LD)/(AF+FL+LD)=4FL/(6FL)=2/3
Проведем  диагональ BD.
Треугольники  ABD и BDC имеют одинаковые высоты,  равные высоте трапеции. То  есть  их  площади относятся  как  основы  трапеции:
SBCD=SABD/2 (в сумме они  дают площадь трапеции)
27cм^2=SABD+SABD/2=3SABD/2
SABD=18cм^2
Треугольники  ABD и AMD имеют общую  высоту,то  их площади тоже относятся как  их основы (AM и AB):
SAMD=SABD/2=9cм^2
Ну  и наконец  треугольники AMD и AOD тоже имеют общую  высоты,то  их площади тоже относятся как основы (OD и MD).
Из выше  показанного:OD/MD=2/3
Откуда: SAOD=2SAMD/3=18/3=6cм^2
ответ:SAOD=6cм^2
Я  не  гарантирую ,что  это самый  простой путь решения.
Я  даже на 100  процентов  уверен,что  есть попроще.