Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними: AC²=AB²+BC²-2*AB*BC*cos∠B Известно, что АВ=ВС+4. Подставляем все известные значения в формулу: 14²=(ВС+4)²+ВС²-2(ВС+4)*ВС*cos120° 196=BC²+8BC+16+BC²-2(BC+4)*BC*(-1/2) 196=2BC²+8BC+16+BC²+4BC 3BC²+12BC-196+16=0 3BC²+12BC-180=0 |:3 BC²+4BC-60=0 D=4²-4*(-60)=16+240=256=16² BC=(-4-16)/2=-10 - не подходит BC=(-4+16)/2=6 см АВ=6+4=10 см
Боковая сторона описанной трапеции видна по углом 90° (свойство). Следовательно, треугольник СОD прямоугольный и его высота ОН, проведенная к гипотенузе CD, является радиусом вписанной окружности. Высота нашей трапеции равна двум таким радиусам. Тогда по Пифагору CD = √(OC²+OD²) = √36+64) = 10 cм.
По свойству высоты из прямого угла:
ОН = R = (OC·OD)/CD = 6·8/10 = 4,8 см.
Также по свойству этой высоты:
ОС² = СD·CH => CH = OC²/CD = 36/10 = 3,6 см.
Аналогично HD = OD²/CD = 6,4 cм.
Пусть точки М и К - точки касания вписанной окружности с основаниями трапеции ВС и AD соответственно.
Тогда ВМ = АК = R = 4,8 см.
МС = СН = 3,6 см, а KD = HD = 6,4см (как отрезки касательных из одной точки).
AC²=AB²+BC²-2*AB*BC*cos∠B
Известно, что АВ=ВС+4. Подставляем все известные значения в формулу:
14²=(ВС+4)²+ВС²-2(ВС+4)*ВС*cos120°
196=BC²+8BC+16+BC²-2(BC+4)*BC*(-1/2)
196=2BC²+8BC+16+BC²+4BC
3BC²+12BC-196+16=0
3BC²+12BC-180=0 |:3
BC²+4BC-60=0
D=4²-4*(-60)=16+240=256=16²
BC=(-4-16)/2=-10 - не подходит
BC=(-4+16)/2=6 см
АВ=6+4=10 см
ответ: АВ=10 см, ВС=6 см.
Sabcd = 67,62 cм²
Объяснение:
Боковая сторона описанной трапеции видна по углом 90° (свойство). Следовательно, треугольник СОD прямоугольный и его высота ОН, проведенная к гипотенузе CD, является радиусом вписанной окружности. Высота нашей трапеции равна двум таким радиусам. Тогда по Пифагору CD = √(OC²+OD²) = √36+64) = 10 cм.
По свойству высоты из прямого угла:
ОН = R = (OC·OD)/CD = 6·8/10 = 4,8 см.
Также по свойству этой высоты:
ОС² = СD·CH => CH = OC²/CD = 36/10 = 3,6 см.
Аналогично HD = OD²/CD = 6,4 cм.
Пусть точки М и К - точки касания вписанной окружности с основаниями трапеции ВС и AD соответственно.
Тогда ВМ = АК = R = 4,8 см.
МС = СН = 3,6 см, а KD = HD = 6,4см (как отрезки касательных из одной точки).
ВС= ВМ+МС = 4,8+3,6 = 8,4 см.
AD = AK+KD = 4,8+6,4 = 11,2 cм.
Sabcd = (BC+AD)·MK/2 = 19,6·9,6/2 = 67,62 см²