ABCD — правильная треугольная пирамида с основанием ABC. А(0;0;1), В(3√3;3;1), С(0;6;1), D(√3;3;7). Докажите, что высота пирамиды равна стороне основания.

А - сторона
h - высота
β - угол между сторонами
высота
h = a*sin(β)
диагональ по теореме косинусов
d₁² = 2*a²-2a²cos(β)
решаем совместно
40² = 2*a²-2a²cos(β)
24 = a*sin(β)
---
sin²(β) = (24/a)²
cos²(β) = 1-(24/a)²
cos²(β) = (a²-24²)/a²
(2a²-1600)/(2a²) = cos(β)
(a²-800)/a² = cos(β)
(a²-800)²/a⁴ = cos²(β)
(a²-800)²/a⁴ = (a²-24²)/a²
(a²-800)² = (a²-24²)*a²
a⁴ - 1600a² + 640000 = a⁴ - 576a²
640000 - 1024a² = 0
625 - a² = 0
a = √625 = 25 - сторону нашли, хорошо :)
И площадь
S = a*h = 25*24 = 600
Вторая диагональ по теореме косинусов, учитывая, что cos(π-β) = -cos(β)
d₂² = 2*a²+2a²cos(β)
40² = 2*a²+2a²cos(β)
1600 - 2*a² = 2a²cos(β)
800 - a² = a²cos(β)
(800 - a²)/a² = cos(β)
(800 - a²)²/a⁴ = cos²(β)
собственно, дальше можно не решать, т.к. вариант для первой диагонали и второй на этом этапе становится эквивалентным, т.к.
(800 - a²)² = (a² - 800)²
ответ - 600

Первый рисунок - вид пирамиды в 3д
второй рисунок - сечени пирамиды в вертикальной плоскости
ОК = ОХ = r
∠CPT = β
СР - высота, медиана и биссектриса основания
по свойству точки пересечения медиан
СК = 2*КР
СР = 3*КР
------------
если сторона основания а, то высота основания СР по Пифагору
a² = (a/2)² + CP²
CP² = 3/4*a²
CP = a√3/2
Площадь основания
S = 1/2*a*a√3/2 = a²√3/4
KP = CP/3 = a/(2√3)
r/KP = tg(β/2)
KP = r/tg(β/2)
a/(2√3) = r/tg(β/2)
a = √3/2*r/tg(β/2)
S = a²√3/4 = (√3/2*r/tg(β/2))²√3/4 = 3/4*r²/tg²(β/2)*√3/4 = 3√3/16*r²/tg²(β/2)
KP/TK = tg(90-β) =1/tg(β)
h = TK = KP*tg(β) = r*tg(β)/tg(β/2)
V = 1/3*S*h = 1/3 * 3√3/16*r²/tg²(β/2) * r*tg(β)/tg(β/2) = √3/16*r³tg(β)/tg³(β/2)