А- точка касания прямой АВ и окружности с центром в точке О. ОА=9см, АВ=12см.
Найти длину отрезка СВ.

Решение: EС=1\2*AС (так как Е – середина отрезка AС, а векторы EС и AС одинаково направлены)

Вектор медианы СL треугольника DBC равен вектор СB +вектор BL= вектор CD+ вектор DL

2*вектор CL=вектор CB+вектор CD+вектор DL+вектор BL= вектор CD+вектор CB (так как L – середина отрезка BD, а векторы BL и DL – противоположно направлены)

Вектор CL=1\2*(вектор CB+вектор CD) .

Медианы треугольника пересекаются и точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, поэтому

Вектор CM=2\3*вектор CL

Вектор CB=вектор CA+вектор AB=-вектор AC+вектор AB

Вектор CD=вектор CA+вектор AD=-вектор AC+вектор AD

Вектор EM=вектор EС+вектор СM=1\2*вектор AC+2\3 *вектор CL=1\2*вектор AC+2\3*1\2*(вектор CB+ вектор CD)= 1\2*вектор AC+1\3*(вектор CB+ вектор CD)=1\2*вектор AC+1\3*(-вектор AC+вектор AB-вектор AC+вектор AD)=

=-1\6 *вектор AC+1\3*вектор AB+1\3*вектор AD

ответ: -1\6 *вектор AC+1\3*вектор AB+1\3*вектор AD

Решение. Пусть АВС – данный равнобедренный треугольник с основанием АС, и серединой Ас – точкой К, тогда

АК=СК, АВ=ВС

Опустим перпендикуляры с точки К на боковые стороны АВ,ВС (по определению они будут расстояниями от точки до сторон) соответственно КР и КТ

Площадь треугольника равна половине произведения высоты на основание, к которому она приведена

Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон треугольника на синус угла между ними

Площадь треугольника ВКС равна 1\2*КТ*BC=1\2*CК*ВК*sin (BKC)

Площадь треугольника AКС равна 1\2*КP*AB=1\2*AК*ВК*sin (BKA)

sin (BKA)= sin (BKC) как синусы смежных углов, значит

 1\2*AК*ВК*sin (BKA)= 1\2*CК*ВК*sin (BKC),

Значит 1\2*КТ*BC=1\2*КP*AB, отсюда

КТ=КР, что и требовалось доказать.

Доказано