2*вектор CL=вектор CB+вектор CD+вектор DL+вектор BL= вектор CD+вектор CB (так как L – середина отрезка BD, а векторы BL и DL – противоположно направлены)
Вектор CL=1\2*(вектор CB+вектор CD) .
Медианы треугольника пересекаются и точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, поэтому
Вектор CM=2\3*вектор CL
Вектор CB=вектор CA+вектор AB=-вектор AC+вектор AB
Вектор CD=вектор CA+вектор AD=-вектор AC+вектор AD
Решение: EС=1\2*AС (так как Е – середина отрезка AС, а векторы EС и AС одинаково направлены)
Вектор медианы СL треугольника DBC равен вектор СB +вектор BL= вектор CD+ вектор DL
2*вектор CL=вектор CB+вектор CD+вектор DL+вектор BL= вектор CD+вектор CB (так как L – середина отрезка BD, а векторы BL и DL – противоположно направлены)
Вектор CL=1\2*(вектор CB+вектор CD) .
Медианы треугольника пересекаются и точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, поэтому
Вектор CM=2\3*вектор CL
Вектор CB=вектор CA+вектор AB=-вектор AC+вектор AB
Вектор CD=вектор CA+вектор AD=-вектор AC+вектор AD
Вектор EM=вектор EС+вектор СM=1\2*вектор AC+2\3 *вектор CL=1\2*вектор AC+2\3*1\2*(вектор CB+ вектор CD)= 1\2*вектор AC+1\3*(вектор CB+ вектор CD)=1\2*вектор AC+1\3*(-вектор AC+вектор AB-вектор AC+вектор AD)=
=-1\6 *вектор AC+1\3*вектор AB+1\3*вектор AD
ответ: -1\6 *вектор AC+1\3*вектор AB+1\3*вектор AD
Решение. Пусть АВС – данный равнобедренный треугольник с основанием АС, и серединой Ас – точкой К, тогда
АК=СК, АВ=ВС
Опустим перпендикуляры с точки К на боковые стороны АВ,ВС (по определению они будут расстояниями от точки до сторон) соответственно КР и КТ
Площадь треугольника равна половине произведения высоты на основание, к которому она приведена
Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон треугольника на синус угла между ними
Площадь треугольника ВКС равна 1\2*КТ*BC=1\2*CК*ВК*sin (BKC)
Площадь треугольника AКС равна 1\2*КP*AB=1\2*AК*ВК*sin (BKA)
sin (BKA)= sin (BKC) как синусы смежных углов, значит
1\2*AК*ВК*sin (BKA)= 1\2*CК*ВК*sin (BKC),
Значит 1\2*КТ*BC=1\2*КP*AB, отсюда
КТ=КР, что и требовалось доказать.
Доказано