A (3;-2;5)B (-2;1;2)C (4;-3;2) очки даны(2 (AC-3BD) узнайте.

Позначимо D і E проекції точок C₁ і D₁ на пряму AC. Тоді з рівності 

B₁B = -BB₁=AA₁+CC₁ для проекцій на пряму АС одержимо рівність:

AE +CD =0. Оскільки AE = AD + DE і CD = CE + DE, знаходимо що AD + CE =0, тобто  AD = EC. Звідси, |AD| = |EC|.
 
 З прямокутних трикутників AC₁D і ACC₁, маємо: |AD| = |AC| *cos²∠ A;

|EC| = |AC| *cos²∠ C. Оскільки |AD| = |EC|,то cos²∠ A=cos²∠ C. Аналогічно доводиться, що cos²∠ A = cos²∠ B.

Звідси випливає що ∠ A=∠ B=∠ C, тобто трикутник АВС - правильний.

Що й треба було довести.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам ( см. рисунок 1)
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ВОС:
ВС²=ВО²+ОС²=6²+8²=36+64=100,
ВС=10.
Сторона ромба равна 10ю
Вписываем в ромб окружность. К-точка касания окружности на стороне АВ.
ОК- радиус вписанной окружности или высота прямоугольного треугольника АОВ.
Из равенства площадей прямоугольного треугольника, вычисленных разными найдем ОК:
S= 1/2 AB·OK  или  S= 1/2 АО·ОВ
АВ·ОК=АО·ВО
10·ОК=6·8  ⇒  ОК=4,8

Из прямоугольного треугольника  КОВ по теореме Пифагора:
КВ²=ВО²-КО²=8²-4,8²=6,8²
КВ=6,8
АК=10-6,8=3.2
Рассоятние КН найдем как высоту прямоугольного треугольника АКО:
АО·КН=АК·КО
КН=3,6·4,8/6=2,88
ответ. 2,88