8.1 Із вершини B рівнобедреного трикутника ABC проведено перпендикуляр BK до площини цього трикутника, AB BC == 17 см, AC=16 см, відстань між точками K і C дорівнює 689 см. Знайдіть відстань від точки K до сторони AB (у см). 2. Знайдіть відстань від точки K до сторони AC (у см).
Формула через синус:
S = ab * sin(∠ab)/2
Синус через косинус:
sin(∠ab) = √(1 - (cos(∠ab))^2)
Теорема косинусов:
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(∠ab)
c^2 - a^2 - b^2 = 2ab * cos(∠ab)
(c^2 - a^2 - b^2)/(2ab) = cos(∠ab)
Подставим найденный косинус во второе уравнение
sin(∠ab) = √(1 - ((c^2 - a^2 - b^2)/(2ab))^2)
Подставим наше уравнение в первое уравнение
S = ab * √(1 - ((c^2 - a^2 - b^2)/(2ab))^2) * 1/2
После того, как ты подставишь значения, получится 37/2 = 18,5
Я сделал проверку (по формуле Герона, конечно же) получился такой же ответ
P.s
Я прикрепил скрин из калькулятора
В первом уравнении я обозначил площадь за x, а во втором за S
на сторонах BC, AC и AB соответственно. Отрезки
пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда
Лемма. Если числа таковы, что
то
,
лишь бы знаменатель в ноль не обращался.
Доказательство леммы. Оно элементарно. Кстати, те, кто в первый раз видит эту лемму, очень часто реагируют так: "Вы что же, числители и знаменатели складываете?! У нас в школе за это двойки ставят!" Впрочем, присмотревшись к утверждению и убедившись, что мы не собираемся таким образом дроби складывать, обычно все успокаиваются, особенно разобравшись в доказательстве.
Обозначим общее значение дробей и
буквой
Тогда
что и требовалось доказать.
Чтобы эта лемма стала совсем очевидной, хочется привести еще и то, что я иногда называю ПОКАЗАТЕЛЬСТВОМ, то есть рассуждение, не претендующее на роль строгого рассуждения, но приблизиться к "кухне математика". Итак, представьте две карты некой местности в разных масштабах, a - это расстояние между пунктами D и E, b - между E и F на одной карте, b и d - аналогичные расстояния на другой карте. В этом случае - это отношение масштабов карт. Ясно, что если мы сложим a и c, то получим длину маршрута от первого пункта через второй к третьему на первой карте, а сложив b и d - длину маршрута на второй карте. Понятно, что их отношение снова равно отношению масштабов карт.
Доказательство теоремы.
1. Пусть указанные отрезки пересекаются в точке , тогда треугольник оказывается разбит на 6 треугольников, занумерованных так, как указано на чертеже. Рассмотрим первую дробь
Поскольку числитель и знаменатель этой дроби являются основаниями треугольников и с общей высотой, дробь не изменится, если заменить числитель и знаменатель на площади указанных треугольников. А заметив, что на тех же основаниях стоят треугольники
и , можно заменить числитель и знаменатель и на их площади.
Поэтому
Воспользуемся теперь леммой: дроби не изменятся, если взять разность числителей и разность знаменателей:
Проведя аналогичное рассуждение для двух других дробей, получаем:
что и доказывает теорему Чевы в одну сторону.
2. Пусть не пересекаются в одной точке.Проведем через точку пересечения и
отрезок (точка расположена на стороне ).
По доказанному,
Если бы было выполнено
,
то
что невозможно при
(скажем, если точки на стороне
расположены в порядке
то числитель первой дроби больше числителя второй дроби, а знаменатель первой дроби меньше знаменателя второй, значит, первая дробь больше второй).
На этом доказательство завершается.
Замечание. Нетрудно получить тригонометрическую форму теоремы Чевы.
Воспользуемся для этого теоремой синусов:
Аналогично получаем
Отсюда получается новая формулировка теоремы Чевы.
Отрезки пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда
Примеры.
1) Медианы пересекаются в одной точке, поскольку все три дроби в основной формулировке теоремы Чевы равны 1.
2) Биссектрисы пересекаются в одной точке. Здесь удобнее воспользоваться теоремой Чевы в тригонометрической форме.
3) Высоты в остроугольном треугольнике пересекаются в одной точке. Опять легче воспользоваться тригонометрической формой.