70 11 класс решить 3 1) основа четырехугольной пирамиды - прямоугольник со сторонами 12 см и 30 см. основа высоты пирамиды - точка пересечения диагоналей прямоугольника. найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если её высота равна 8 см. 2) стороны основ треугольной пирамиды равны 6 см, 10 см и 14 см. боковые грани наклонены к плоскости основы под углом 60 градусов. найти площадь полной поверхности пирамиды. 3) основа пирамиды sabc- равнобедренный треугольник abc. аb=bс=12 см. боковая грань sac, которая имеет основу треугольника, перпендикулярна к плоскости abc, а две другие боковые грани наклонены к плоскости под углом 60 градусов, so=4√3 см. найти площадь основы пирамиды.
1) Находим проекции высот боковых граней на основание.
h1 = √((30/2)² + 8²) = √(225 + 64) = √289 = 17 см.
h2 = √((12/2)² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 см.
Получаем: Sбок = (1/2)*(2*12*17 + 2*30*10) = 204 + 300 = 504 см².
2) Если боковые грани наклонены к плоскости основы под одинаковым углом, то вершина пирамиды проецируется в центр вписанной окружности, а проекции высот боковых граней равны между собой и равны радиусу вписанной окружности.
Находим полупериметр основания р = (6 + 10 + 14 = )/2 = 30/2 = 15 см.
Площадь основания находим по формуле Герона:
So = √(15*9*5*1) = 15√3 см².
Радиус вписанной окружности r = S/p = 15√3/15 = √3 см.
Высоты наклонных граней равны h = r/cos 60° = √3/(1/2) = 2√3 см.
Sбок = (1/2)Ph = (1/2)*30*2√3 = 30√3 см².
Площадь полной поверхности пирамиды равна:
S = So + Sбок = 15√3 + 30√3 = 45√3 см².
3) Проведём перпендикуляр ОК к боковой стороне основания.
Обозначим ОС = х, КС = у, ОК = h, BO = √(12² - x²) = √(144 - x²).
Из прямоугольного треугольника ВОС имеем:
h² = y(12 - y),
12y - y² = 16.
Получаем квадратное уравнение y² - 12y + 16 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно y:
Ищем дискриминант:
D=(-12)^2-4*1*16=144-4*16=144-64=80;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
y_1=(√80-(-12))/(2*1)=(2√80+12)/2=√80/2+12/2=√80/2+6 ≈ 10.472136;
это ВК.
y_2=(-√80-(-12))/(2*1)=(-√80+12)/2=-√80/2+12/2=-√80/2+6 = 6 - 2√5 ≈ 1.527864, это у.
Отсюда находим искомое значение стороны АС:
АС = 2√(h² + y²) = 2√(16 + (6 - 2√5)²) = 4√(18 - 6√5) см.