6. на прямой отложены два равных отрезка дс и ce. на отрезке ce взята точка m, которая
делит его в отношении 2: 7, считая от точки c. найдите расстояние между серединами
отрезков дс и me, если см=6 см.​

 В трапеции ABCD с основаниями BC и AD угол BAD = 25°, угол CDA = 65° , средняя линия равна 10, а длина отрезка, соединяющего середины оснований, равна 8. Найдите длину основания AD
Обратим внимание на углы при  большем основании. 
Их сумма   25°+65°=90°.
Из середины  основания ВС параллельно боковым сторонам проведем к АD прямые КN и КЕ.
Углы получившегося треугольника NКЕ  также равны  25° и 65° - как соответственные при пересечении параллельных прямых секущей АD,
 их сумма 90°, угол NКЕ=90°.
КМ в прямоугольном треугольнике NKE- медиана, т.к.  по условию соединяет середины оснований трапеции.
В прямоугольном треугольнике медиана из прямого угла равна половине гипотенузы. 
NЕ=2 КМ=8*2=16.  
Средняя линия ne треугольника NКЕ принадлежит средней линии ad трапеции  и  ne=NЕ:2=8 
ad=10, ad-ne=10-8=2 
АN+ЕD=ВС как стороны параллелограммов.
an+ed=BK+KC=BC=2
ВС=2
AD=ad*2-BC=20-2=18
--------------------
Решение будет гораздо короче, если помнить, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, в которой сумма углов при большем основании равна 90°, равен полуразности оснований.
(АД-ВС):2=8
(АД+ВС):2=10 ⇒
Сложим получившуюся систему уравнений:
|АД-В=16
|АД+ВС=20
2АД=36
АД=18
---
[email protected]  

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Дано: ΔАВС, КМ - средняя линия.
Доказать: КМ ║ АС, КМ = АС/2

Доказательство:

1. Через точку К (середину стороны АВ) проведем прямую, параллельную стороне АС.
По теореме Фалеса эта прямая разделит сторону ВС пополам, значит пройдет через точку М.
Средняя линия КМ лежит на прямой, параллельной АС, значит
КМ ║ АС.
2. Через точку М проведем прямую, параллельную стороне АВ.
По теореме Фалеса она разделит сторону АС пополам. Н - середина АС.
АКМН - параллелограмм, так как КМ ║ АН и МН ║ АК по построению, значит КМ = АН = АС/2