Теорема 1. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
Доказательство. Пусть в треугольнике ABC сторона АВ больше стороны АС (рис.1, а).
Рис.1
Докажем, что ∠ С > ∠ В. Отложим на стороне АВ отрезок AD, равный стороне АС (рис.1, б). Так как AD < АВ, то точка D лежит между точками А и В. Следовательно, угол 1 является частью угла С и, значит, ∠ C > ∠ 1. Угол 2 — внешний угол треугольника BDC, поэтому Z 2 > Z В. Углы 1 и 2 равны как углы при основании равнобедренного треугольника ADC. Таким образом, ∠ С > ∠ 1, ∠ 1 = ∠ 2, ∠ 2 > ∠ B. Отсюда следует, что ∠ С > ∠ В.
Справедлива и обратная теорема (ее доказательство проводится методом от противного).
Теорема 2. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
Из теоремы 1 вытекает
Следствие 1. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).
Доказательство следствия проводится методом от противного.
Из следствия 1 следует, что если три угла треугольника равны, то треугольник равносторонний.
Из теоремы 2 получаем
Следствие 3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
С использованием теоремы 2 устанавливается следующая теорема.
Теорема 3. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
Следствие 4. Для любых трех точек А, В и С, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства: АВ < АС + СВ, АС < АВ + ВС, ВС < ВА + АС.
С XV века проблема окружающей среды стала актуальной. Американец потребляет в 130 раз больше энергии, чем средний африканец и в 20 раз больше, чем средний европеец. Экология - это наука о взаимоотношениях между живыми организмами, биологическими системами и средой обитания. Экология изучает в том числе вопросы природопользования. Природопользование - это взаимодействие человека и природы во всём его многообразии. Взаимодействие промышленности с окружающей средой рассматривается как одна из составляющих частей природопользования. Этот процесс носит социальный характер и совершается в рамках общественных отношений конкретного производства. Окружающая среда - это среда обитания, представляющая собой совокупность всех материальных тел, сил и явлений природы. Она включает любую деятельность человека, находящуюся в непосредственном контакте с живыми организмами. Окружающая среда является сферой деятельности человека. Географическая среда - это та часть природной среды, которую человек может при для удовлетворения своих материальных и духовных потребностей. Свойства географической среды являются первым условием развития материального производства. Природные богатства - это совокупность веществ и сил природы, которые могут быть использованы. По мере прогресса производительных сил меняется структура природных богатств, и в неё включаются новые элементы. Природные ресурсы - это часть природных богатств, которая может быть использована в производительном или личном потреблении на данном этапе развития общества и постоянно расширяется по мере развития производительных сил. Всю историю человечества можно рассматривать через призму взаимоотношений общества с окружающей средой. Окружающая среда является первоосновой получения человеком ресурсов и благ.
Теорема 1. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
Доказательство. Пусть в треугольнике ABC сторона АВ больше стороны АС (рис.1, а).
Рис.1
Докажем, что ∠ С > ∠ В. Отложим на стороне АВ отрезок AD, равный стороне АС (рис.1, б). Так как AD < АВ, то точка D лежит между точками А и В. Следовательно, угол 1 является частью угла С и, значит, ∠ C > ∠ 1. Угол 2 — внешний угол треугольника BDC, поэтому Z 2 > Z В. Углы 1 и 2 равны как углы при основании равнобедренного треугольника ADC. Таким образом, ∠ С > ∠ 1, ∠ 1 = ∠ 2, ∠ 2 > ∠ B. Отсюда следует, что ∠ С > ∠ В.
Справедлива и обратная теорема (ее доказательство проводится методом от противного).
Теорема 2. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
Из теоремы 1 вытекает
Следствие 1. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).
Доказательство следствия проводится методом от противного.
Из следствия 1 следует, что если три угла треугольника равны, то треугольник равносторонний.
Из теоремы 2 получаем
Следствие 3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
С использованием теоремы 2 устанавливается следующая теорема.
Теорема 3. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
Следствие 4. Для любых трех точек А, В и С, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства:
АВ < АС + СВ, АС < АВ + ВС, ВС < ВА + АС.