4. В основі конуса проведено хорду завдовжки 12 см, що стягує дугу 120°. Кут між твірною конуса та площиною основу дорівнює 60°. Знайдіть висоту конуса.

а) 2 признак рав.пр.

б) 1 признак рав.пр.

в) 3 признак рав.пр.

г) признак прямых, перпендикулярных одной прямой.

Объяснение:

Док-во:

а) углы 2, 6 (соответственные и т.к. они равны, по условию, то и а||b - по 2-ому пр.)

б) углы 3, 5 (внутр.накрест лежащие и т.к. они равны, то а||b - по 1-ому пр.)

в) углы 4+5=180° (внутр. односторонние и т.к. их сумма равна 180°, то а||b - по 3-ему пр.)

г) углы 7, 8 имеют значение в 90°, то секущая (например с) является перпендикуляром, то соответственно а||b (св. прямых, перпендикулярных одной прямой).

Проведем DK⊥SC.
ΔDKC = ΔBKC по двум сторонам и углу между ними (DC = BC как стороны квадрата, КС - общая, углы при вершине С равны, так как боковые грани - равные равнобедренные треугольники).
Тогда и ВК⊥SC, значит
∠DKB - линейный угол двугранного угла при боковом ребре пирамиды.
Обозначим его α.
sinα = 12/13

SC⊥DKB (ребро SC перпендикулярно двум пересекающимся прямым этой плоскости), ⇒
SC⊥OK.
Тогда отрезок ОК параллелен высоте треугольника ASC, проведенной из вершины А (обозначим ее h), и равен ее половине.
Sasc = 1/2 · SC · h = 1/2 · SC · 2OK = SC·OK = 7√13        ( 1 )

ΔOKD: OK = KD · cos (α/2)

Угол α тупой, т.к. sin(α/2) = OD/DK > OD/DC = 1/√2
cos α  = - √(1 - sin²α) = - √(1 - 144/169) = - √(25/169) = - 5/13

cos (α/2) = √((1 + cos α)/2) = √((1 - 5/13)/2) = √(8/26) = √(4/13) = 2/√13

Вернемся к ΔOKD:
ОК = KD · cos (α/2) = KD · 2/√13
Подставим в равенство (1):
SC · KD · 2/√13 = 7√13
SC · KD = 7√13 · √13 / 2 = 91/2
Но KD - высота боковой грани SCD, проведенная к ребру SC.
Sscd = 1/2 · SC · KD = 1/2 · 91/2 = 91/4
Тогда площадь боковой поверхности:
Sбок = 4 · Sscd = 4 · 91/4 = 91